$\overrightarrow{v} = (7,2,5)$ が方向ベクトルとなるので, 求める直線のベクトル方程式は

$(x,y,z) = ( 3,3,1 ) + t(7,2,5)$

となります。各成分を比べれば

$\begin{cases} x = 3 + 7t \\ y = 3 + 2t \\ z = 1 + 5t \end{cases}$

となります。

直線上の点を ${\rm P}(x,y,z)$ とすると, 直線は $2$ 点 ${\rm A}$, ${\rm B}$ を通るので

$\overrightarrow{{\rm OP}} = \overrightarrow{{\rm OA}} + t \overrightarrow{{\rm AB}}$

が成り立ちます。

$\overrightarrow{{\rm AB}} = (5-3,3-1,2-(-1) ) =(2,2,3)$

であるから, 直線のベクトル方程式は

$(x,y,z) =(3,1,-1) + t(2,2,3)$

各成分を比べると

$\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 + 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$

となります。

平面上の点を ${\rm P}(x,y,z)$ とすると, $\overrightarrow{n}$ は平面の法線ベクトルなので

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AP}} = 0$

が成り立ちます。

$\overrightarrow{{\rm AP}} = (x - 5, y - 3, z -4)$

なので

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AP}} = 3(x-5) + 2(y-3)+ 3(z-4) = 0$

整理すると

$3x + 2y +3z -(15+6+12) = 3x+2y+3z - 33 =0$

よって平面の方程式は $3x+2y+3z - 33 =0$ となります。

求める平面に垂直なベクトルを $\overrightarrow{n}=(n_1,n_2,n_3)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} = 0$

が成り立ちます。

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AB}} = -8n_1 -2n_2 + 2n_3 = 0 ~ \cdots(1)$

であり

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AC}} = 2n_1 - n_2 -n_3 = 0 ~ \cdots(2)$

$(2)$ より

$n_3 = 2n_1 -n_2 ~ \cdots(3)$

であり, これを $(1)$ に代入すると

$-8n_1 -2n_2 +2(2n_1 - n_2) = -4n_1 -4n_2 = 0$

よって $n_2 = -n_1$ であり, $(3)$ より $n_3 = 3n_1$ となります。

以上から, 平面に垂直なベクトルは $\left( n_1,-n_1,3n_1 \right)$ という形をしていることがわかります。

特に $n_1 = 1$ とすれば, 平面は点 ${\rm A}(0,4,-1)$ を通り, $\overrightarrow{n} = \left( 1,-1,3 \right)$ に垂直な平面となります。

よって, 平面上の点を ${\rm P}(x,y,z)$ とすると

$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{{\rm AP}} = x - (y-4) + 3(z+1) =0$

整理すると $x-y + 3z + 7=0$ となります。

(1)
$\alpha$ の方程式から

$\overrightarrow{n} = (a,b,c)$

とすると $\overrightarrow{n}$ は $\alpha$ の法線ベクトルとなります。

よって点 ${\rm A}$ を通り $\overrightarrow{n}$ を方向ベクトルに持つ直線の媒介変数表示は

$\left\{ \begin{aligned} x &= x_0 + at \\ y &= y_0 + bt \\ z &= z_0 + ct \end{aligned} \right.$

となります。

(2)

$l$ の媒介変数表示を $\alpha$ の方程式に代入すると

$a(x_0 + at) + b(y_0+ bt) + c(z_0 + ct) + d = 0$

整理すると

$t = -\dfrac{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$

$\overrightarrow{{\rm AH }} = (at ,bt ,ct)$ であるから, その大きさは

$|\overrightarrow{{\rm AH }}| = |t|\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{|ax_0 + by_0 +cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

となります。

※補足

(2) で求めた $\overrightarrow{{\rm AH}}$ の大きさを, 点 ${\rm A}$ と平面 $\alpha$ の距離といいます。

点 ${\rm A}(x_0,y_0,z_0)$ と平面 $\alpha:ax+ by+cz +d=0$ の距離は

$\dfrac{|ax_0 + by_0 +cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

で求めることができます。

点 $(a,b,c)$ を中心とする半径 $r$ の球面の方程式は

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z -c)^2 =r^2$

となります。よって求める球面の方程式は

$(x+7)^2 + (y+4)^2+ (z+7)^2 = 36$

となります。

方程式を変形すると

$\begin{eqnarray*} (x^2 - 8x) + (y^2 +6y) + (z^2 - 2z ) & = & 10 \\[0.5em] \left\{ (x-4)^2 -16\right\}+ \left\{ (y+3)^2 -9\right\} + \left\{ (z-1)^2 -1\right\} & = & 10\\[0.5em] (x-4)^2 + (y+3)^2 + (z-1)^2 & = & 36 \end{eqnarray*}$

よって, この球面の中心の座標は $(4,-3,1)$, 半径は $\sqrt{36} = 6$ となります。