交換法則と結合法則を利用すると

$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm BD}} + \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm DC}} &=& \left(\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AB}} \right)+ \left(\overrightarrow{{\rm BD}} + \overrightarrow{{\rm DC}} \right)\\[1em] & = &\overrightarrow{{\rm OB}} +\overrightarrow{{\rm BC}} =\overrightarrow{{\rm OC}} \end{eqnarray*}$

となる。

$\overrightarrow{{\rm OA}} + \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}+ \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm AC}} = \overrightarrow{{\rm OB}} $

両辺から $\overrightarrow{{\rm DB}}$ を引くと

$\left(\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AC}}\right) + \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}= \overrightarrow{{\rm OB}} - \overrightarrow{{\rm DB}}$

$\overrightarrow{{\rm OC}} + \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}= \overrightarrow{{\rm OD}}$

よって

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}= \overrightarrow{{\rm OD}} - \overrightarrow{{\rm OC}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$

$\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm BC}} - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} + \overrightarrow{{\rm CB}} = \overrightarrow{{\rm OB}}$

両辺から $\overrightarrow{{\rm OA}}$ を引き, 整理すると

$\left(\overrightarrow{{\rm BC}}+ \overrightarrow{{\rm CB}}\right)  - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm OB}} - \overrightarrow{{\rm OA}}$

$\overrightarrow{{\rm BB}}  - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm AB}}$

$\overrightarrow{{\rm BB}}$ を両辺から引くと

$-\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} =  \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm BB}} = \overrightarrow{{\rm AB}}$

よって

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = -\overrightarrow{{\rm AB}} =\overrightarrow{{\rm BA}}$

である。

一般に

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}$

が成り立つことに注意する。

$\overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm OD}} + \overrightarrow{{\rm CA}} - \overrightarrow{{\rm CB}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$

整理すると

$\left( \overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm CA}} \right) + \left( \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm OD}} \right)- \overrightarrow{{\rm CB}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$

$\overrightarrow{{\rm AA}} + \overrightarrow{{\rm OB}}+ \overrightarrow{{\rm BC}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$

よって

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm AA}} + \overrightarrow{{\rm OB}}+ \overrightarrow{{\rm BC}} = \overrightarrow{{\rm OC}}$

となる。

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} - \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm OC}} - \overrightarrow{{\rm ED}} = \overrightarrow{{\rm OA}}$

分配法則から

$- \overrightarrow{{\rm AE}} - \overrightarrow{{\rm ED}} = - \left( \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm ED}} \right)$

であるから, 整理すると

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} - \left( \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm ED}} \right)= \overrightarrow{{\rm OA}} -  \overrightarrow{{\rm OC}}$

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} - \overrightarrow{{\rm AD}} = \overrightarrow{{\rm CA}}$

よって

$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm CA}}+ \overrightarrow{{\rm AD}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$

となる。