空間内の $3$ つのベクトル

$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$

が作る四面体の体積を $V$ とすると

$V = \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$

が成り立つ。よって

$\begin{eqnarray*} V & = & \dfrac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 3 & 4 & -2 \\ 5 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & 4 \end{vmatrix} \right|\\[1em] & = & \dfrac{1}{6}| 0 + 32 - 20 + 24 - 80 - 0 | \\[1em] & = & \dfrac{1}{6} \cdot |-44| = \dfrac{22}{3} \end{eqnarray*}$