仮定から $\lambda = -9, 11$ は $A$ の固有値である。

$\lambda = -9$ の時

$\begin{pmatrix} -7 + 9 & -6 \\ -6 & 9 + 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -6 & 18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - 6y \\ -6x + 18y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = 3y$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。

また, $\lambda = 11$ の時

$\begin{pmatrix} -7 - 11 & -6 \\ -6 & 9-11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$

とすると

$\begin{pmatrix} -18 & -6 \\ -6 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18x - 6y \\ -6x - 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$y = -3x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。

$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}$ である。

よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ である。