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問題
対称行列 $A = \begin{pmatrix} -8 & -6 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$
問題
対称行列 $A = \begin{pmatrix} -7 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -9 & 0 \\ 0 & 11 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$
仮定から $\lambda = -9, 11$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -9$ の時
$\begin{pmatrix} -7 + 9 & -6 \\ -6 & 9 + 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -6 & 18 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - 6y \\ -6x + 18y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$x = 3y$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = 11$ の時
$\begin{pmatrix} -7 - 11 & -6 \\ -6 & 9-11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -18 & -6 \\ -6 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18x - 6y \\ -6x - 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = -3x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ である。
問題
対称行列 $A = \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ -5 & -6 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -11 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
仮定から $\lambda = -11, -1$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -11$ の時
$\begin{pmatrix} -6 + 11 & -5 \\ -5 & -6 + 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x - 5y \\ -5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = -1$ の時
$\begin{pmatrix} -6 + 1 & -5 \\ -5 & -6 + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -5 & -5 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5x - 5y \\ -5x - 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = -x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ である。
問題
対称行列 $A = \begin{pmatrix} 9 & 5 \\ 5 & 9 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 14 \end{pmatrix}$
となった。この時, $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
仮定から $\lambda = 4, 14$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = 4$ の時
$\begin{pmatrix} 9 - 4 & 5 \\ 5 & 9 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x + 5y \\ 5x + 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = - x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = 14$ の時
$\begin{pmatrix} 9 - 14 & 5 \\ 5 & 9 - 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -5 & 5 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5x + 5y \\ 5x - 5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ である。
仮定から $\lambda = -11, 4$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -11$ の時
$\begin{pmatrix} -8 + 11 & -6 \\ -6 & 1 + 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -6 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x - 6y \\ -6x + 12y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$x = 2y$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1\not=0)$ である。
また, $\lambda = 4$ の時
$\begin{pmatrix} -8 - 4 & -6 \\ -6 & 1 -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \overrightarrow{0}$
とすると
$\begin{pmatrix} -12 & -6 \\ -6 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12x - 6y \\ -6x - 3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$y = -2x$ より, 固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ $(c_2\not=0)$ である。
$T$ は直交行列なので $|\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると $c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ である。
よって $T = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ である。