仮定から, $\lambda = -1,1,4$ は $A$ の固有値である。

$\lambda = -1$ の時

$ $$\begin{pmatrix} 1 + 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2+1 & -1 \\ 2 & -1 & 1+1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 2x - y + 2z \\ -x + 3y - z \\ 2x - y + 2z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} 2x - y + 2z &= 0 \\ -x + 3y -z &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $y = 0$ かつ $z = -x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $ $(c_1 \not=0)$ である。

また $\lambda = 1$ の時

$ $$\begin{pmatrix} 1 - 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2-1 & -1 \\ 2 & -1 & 1-1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} - y + 2z \\ -x + y - z \\ 2x - y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} - y + 2z &= 0 \\ -x + y -z &= 0 \\ 2x - y &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $y = 2x$ かつ $z = x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 $$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $ $(c_2 \not=0)$ である。

最後に $\lambda = 4$ の時

$ $$\begin{pmatrix} 1 - 4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 - 4 & -1 \\ 2 & -1 & 1 - 4 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -3x - y + 2z \\ -x - 2y - z \\ 2x - y - 3z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} -3x - y + 2z &= 0 \\ -x - 2y -z &= 0 \\ 2x - y -3z &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $y = -x$ かつ $z = x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 $$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $ $(c_3 \not=0)$ である。

$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから

$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

よって

$T = $$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ 0  & \dfrac{2}{\sqrt{6}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$ =\dfrac{1}{\sqrt{6}} $$\begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 2 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ $

である。