$|A - \lambda E| = \overrightarrow{0}$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |A - \lambda E| & = & \begin{vmatrix}  - \lambda & 2 & 2 \\ 1 & 1 -\lambda & 2 \\ 1 & 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} \\[1em] & = & -\lambda(1-\lambda)^2 + 4 + 4 + 4\lambda - 2(1-\lambda) - 2(1-\lambda) \\[1em] & = & -\lambda^3 + 2\lambda^2 +7\lambda + 4 \\[1em] & = & -(\lambda + 1)(\lambda^2 - 3\lambda - 4)\\[1em] & = & -(\lambda + 1)^2(\lambda -4) = 0 \end{eqnarray*}$$ $

$\lambda_1 \lt \lambda_2$ より $\lambda_1 = -1$ である。

$\lambda = - 1$ に対応する固有ベクトルを $\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} x \\  y \\ z \end{pmatrix}$$ $ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} (A + E)\overrightarrow{v} & = & \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\  y \\ z \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} x+2y+2z \\ x+2y+2z \\ x+2y+2z \end{pmatrix} = \overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$$ $

よって $x = -2y-2z$ となるので, 固有ベクトルに代入すると

$\overrightarrow{v} = $$\begin{pmatrix} -2y-2z \\  y \\ z \end{pmatrix}$$ = y $$\begin{pmatrix} -2 \\  1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ + z $$\begin{pmatrix} -2 \\  0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v} = c_1 $$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ + c_2 $$\begin{pmatrix} -2 \\  0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $ $( c_1\not=$ または $c_2\not=0 )$ である。