直交行列による対角化（3次） | アドウィンテクノ塾

問題

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると

${}^t TAT = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

となった。この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 2 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 2 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 &- 2 & \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & -2 & \sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$

ギブアップ...

行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると

${}^t TAT = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

となった。この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 & 0 \\ -\sqrt{2} & 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{2} & -1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 2 \\ -\sqrt{2} & \sqrt{3} & 1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 2 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 0& 2 & \sqrt{2} \\ \sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2} \\ \sqrt{3} & -1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$

ギブアップ...

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & -3 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると

${}^t TAT = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$

となった。この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。

$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ 3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ -3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\- 3\sqrt{2} & 0 & 2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ -3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$

ギブアップ...