仮定から, $\lambda = -1,1,4$ は $A$ の固有値である。

$\lambda = -1$ の時

$\begin{pmatrix} 1 + 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2+1 & -1 \\ 2 & -1 & 1+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y + 2z \\ -x + 3y - z \\ 2x - y + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} 2x - y + 2z &= 0 \\ -x + 3y -z &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $y = 0$ かつ $z = -x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_1 \not=0)$ である。

また $\lambda = 1$ の時

$\begin{pmatrix} 1 - 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2-1 & -1 \\ 2 & -1 & 1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - y + 2z \\ -x + y - z \\ 2x - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} - y + 2z &= 0 \\ -x + y -z &= 0 \\ 2x - y &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $y = 2x$ かつ $z = x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_2 \not=0)$ である。

最後に $\lambda = 4$ の時

$\begin{pmatrix} 1 - 4 & -1 & 2 \\ -1 & 2 - 4 & -1 \\ 2 & -1 & 1 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} -3 & -1 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x - y + 2z \\ -x - 2y - z \\ 2x - y - 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} -3x - y + 2z &= 0 \\ -x - 2y -z &= 0 \\ 2x - y -3z &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $y = -x$ かつ $z = x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_3 \not=0)$ である。

$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから

$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

よって

$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ 0  & \dfrac{2}{\sqrt{6}} & -\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 2 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{3} & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix}$

である。

仮定から, $\lambda = -4,-1,1$ は $A$ の固有値である。

$\lambda = -4$ の時

$\begin{pmatrix} -2 + 4 & 1 & -1 \\ 1 & -1 + 4 & 2 \\ -1 & 2 & -1 + 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y - z \\ x + 3y + 2z \\ -x + 2y + 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} 2x + y - z &= 0 \\ x + 3y + 2z &=0\\ -x + 2y + 3z &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $z = -y$ かつ $y = -x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_1 \not=0)$ である。

また $\lambda = -1$ の時

$\begin{pmatrix} -2 + 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 + 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - x + y - z \\ x + 2z \\ -x + 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} -x + y - z &= 0 \\ x + 2z &= 0 \\ -x + 2y &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $x = 2y$ かつ $z = -y$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $(c_2 \not=0)$ である。

最後に $\lambda = 1$ の時

$\begin{pmatrix} -2 - 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 - 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x + y - z \\ x - 2y + 2z \\ -x + 2y - 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} -3x + y - z &= 0 \\ x - 2y + 2z  &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $x = 0$ かつ $z = y$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(c_3 \not=0)$ である。

$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから

$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

よって

$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{3}} &\dfrac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ - \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 & 0 \\ -\sqrt{2} & 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{2} & -1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$

である。

仮定から, $\lambda = -4,1,7$ は $A$ の固有値である。

$\lambda = -4$ の時

$\begin{pmatrix} 3 + 4 & 2 & -3 \\ 2 & 3 + 4 & -3 \\ -3 & -3 & -2 + 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & -3 \\ -3 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7x + 2y - 3z \\ 2x + 7y - 3z \\ - 3x - 3y + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} 7x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x + 7y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y + 2z &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $y = x$ かつ $z = 3x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $(c_1 \not=0)$ である。

また $\lambda = 1$ の時

$\begin{pmatrix} 3 - 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 1 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -3 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 2y - 3z \\ 2x + 2y - 3z \\ -3x - 3y - 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} 2x + 2y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y -3z &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $y = -x$ かつ $z = 0$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $(c_2 \not=0)$ である。

最後に $\lambda = 7$ の時

$\begin{pmatrix} 3 - 7 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 7 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とすると

$\begin{pmatrix} -4 & 2 & -3 \\ 2 & - 4 & -3 \\ -3 & -3 & - 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4x + 2y - 3z \\ 2x - 4y - 3z \\ -3x - 3y - 9z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\left\{ \begin{aligned} -4x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x - 4y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y - 9z &= 0 \end{aligned} \right.$

を解くと $y = x$ かつ $z = - \dfrac{2}{3}x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \end{pmatrix}$ $(c_3 \not=0)$ である。

$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから

$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{11}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{22}}$

よって

$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{11}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{11}}  & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{3}{\sqrt{11}} & 0 & - \dfrac{2}{\sqrt{22}} \end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ 3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$

である。