次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ -2 & 5 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
$-84$
$72$
$-93$
$66$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ -2 & 5 & -4 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 1 & -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ -4 & 4 & 3 & -1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 1 & -1 & 2 \\ -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 0 & -3 & 9 \\ -4 & 15 & -13 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & -7 \\ 0 & -3 & 9 \\ 0 & 23 & -41 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -3 & 9 \\ 23 & -41 \end{vmatrix}\\[1em] & = &123 - 207 = -84 \end{eqnarray*}$