次の行列 $A$ の行列式として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
$5$
$-7$
$3$
$-1$
行列式の性質を利用すると
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ -2 & -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 2 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ -1 & -5 & 4 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -1 - (-6) = 5 \end{eqnarray*}$