ある行が和で表せるとき, 行列式は和に分解できるので

$ $$\begin{eqnarray*} |C| & = &  \begin{vmatrix} 2a_1 + 3b_1 & c_1 \\ 2a_2 + 3b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 2a_1 & c_1 \\ 2a_2 & c_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 3b_1 & c_1 \\ 3b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}+ 3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2|A| + 3|B| \\[1em] & = & 2\cdot 2 + 3\cdot 3 = 13 \end{eqnarray*}$$ $

よって $|C| = 13$ である。