$2$ つの行列 $A= \begin{pmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{pmatrix}$ と $B= \begin{pmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{pmatrix}$ がそれぞれ $|A|=2$ かつ $|B|=3$ であるとする。
この時, 次の行列の行列式の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$C = \begin{pmatrix} 2a_1 + 3b_1 & c_1 \\ 2a_2 + 3b_2 & c_2 \end{pmatrix}$
$13$
$4$
$5$
$12$
ある行が和で表せるとき, 行列式は和に分解できるので
$\begin{eqnarray*} |C| & = & \begin{vmatrix} 2a_1 + 3b_1 & c_1 \\ 2a_2 + 3b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & \begin{vmatrix} 2a_1 & c_1 \\ 2a_2 & c_2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 3b_1 & c_1 \\ 3b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}+ 3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\[1em] & = & 2|A| + 3|B| \\[1em] & = & 2\cdot 2 + 3\cdot 3 = 13 \end{eqnarray*}$
よって $|C| = 13$ である。