$ $$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ -12 & 12 & -3 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とする。

線形変換の表現行列を行基本変形すると

$ $$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ -12 & 12 & -3 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$  \longrightarrow  $$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $

よって

$ $$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

である。

$ $$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 4x - 4y + z \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

であるから

$4x - 4y + z = 0$

よって, この線形変換で原点に移される点は平面 $4x - 4y + z = 0$ 上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。