$ $$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とする。

$ $$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{vmatrix} & = & 0 - 48 - 64 + 16 - 0 + 64 \\[1em] & = & - 32 \not=0 \end{eqnarray*}$$ $

よって行列 $ $$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix}$$ $ は正則である。

すなわち

$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ =  $$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix}$$ ^{-1} $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$  =  $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

となり, この線形変換で原点に移される点は原点のみである。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。