線形変換の性質 02 | アドウィンテクノ塾

線形変換 $f$ が $2$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し

$f(\overrightarrow{a}) = $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $, $f(\overrightarrow{b}) = $\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ $

となる時, $f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b})$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$ $\begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix}$ $

$ $\begin{pmatrix} -20 \\ -20 \end{pmatrix}$ $

$ $\begin{pmatrix} -20 \\ -12 \end{pmatrix}$ $

$ $\begin{pmatrix} 4 \\ -20 \end{pmatrix}$ $

変換 $f$ が線形変換である時, 実数 $k$, $l$ とベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ に対し

$f(k \overrightarrow{a} + l \overrightarrow{b}) = kf(\overrightarrow{a}) + lf(\overrightarrow{b})$

が成り立つので

$ $\begin{eqnarray*} f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) & = & -4 f(\overrightarrow{a}) + 2 f(\overrightarrow{b}) \\[1em] & = & -4\begin{pmatrix} -3 \\ 4\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 12 - 8 \\ -16 +4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $

よって $f(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) = $\begin{pmatrix} 4 \\ -12 \end{pmatrix}$ $ である。