空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (4,2,-4),~\overrightarrow{b} = (3,0,-2),~\overrightarrow{c} = (2,-2,5)$
が作る平行六面体の体積として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$30$
$5$
$10$
$15$
空間内の $3$ つのベクトル
$\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,a_3),~\overrightarrow{b} = (b_1,b_2,b_3),~\overrightarrow{c} = (c_1,c_2,c_3)$
が作る平行六面体の体積を $V$ とすると
$V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \right|$
が成り立つ。よって
$\begin{eqnarray*} V & = & \left| \begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & -2 \\ -4 & -4 & 5 \end{vmatrix} \right| \\[1em] & = & |0 + 24 - 8 - 16 - 30 - 0 | \\[1em] & = & |-30|= 30\end{eqnarray*}$