直線 $y = (\tan \theta) x$ に関する対称移動は

1. 原点のまわりに $-\theta$ だけ回転移動
2. $x$ 軸に関する対称移動
3. 原点のまわりに $\theta$ だけ回転移動

の $3$ つの線形変換の合成として表せる。

よって $y = (\tan \theta) x$ に関する対称移動を表す行列は

$ $$\begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}\cos \left( -\theta \right) & - \sin \left( -\theta \right) \\ \sin \left( -\theta \right) & \cos \left( -\theta \right) \end{pmatrix}$$ \\[2em] = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta  \end{pmatrix}\\[2em] = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & 2\sin \theta \cos \theta \\ 2\sin \theta \cos \theta & -(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta ) \end{pmatrix}\\[2em] = \begin{pmatrix} \cos 2\theta  & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$

となる。$\tan \theta = \dfrac{1}{2}$ の時,

$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \dfrac{4}{3}$

$\cos^2 \theta = \dfrac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \dfrac{4}{5}$ 

であるから

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta -1 = \dfrac{3}{5}$

$\sin 2\theta = \tan 2\theta \cos 2\theta = \dfrac{4}{5}$

よって求める表現行列は $ $$\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}  & \dfrac{4}{5} \\ \dfrac{4}{5} & -\dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$$ $ である。