行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & -3 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix}$ を直交行列 $T$ を使って対角化すると
${}^t TAT = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$
となった。この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ 3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ -3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\- 3\sqrt{2} & 0 & 2 \end{pmatrix}$
$\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ -3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
仮定から, $\lambda = -4,1,7$ は $A$ の固有値である。
$\lambda = -4$ の時
$\begin{pmatrix} 3 + 4 & 2 & -3 \\ 2 & 3 + 4 & -3 \\ -3 & -3 & -2 + 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & -3 \\ -3 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7x + 2y - 3z \\ 2x + 7y - 3z \\ - 3x - 3y + 2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} 7x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x + 7y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y + 2z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = x$ かつ $z = 3x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $(c_1 \not=0)$ である。
また $\lambda = 1$ の時
$\begin{pmatrix} 3 - 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 1 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -3 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 2y - 3z \\ 2x + 2y - 3z \\ -3x - 3y - 3z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} 2x + 2y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y -3z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = -x$ かつ $z = 0$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $(c_2 \not=0)$ である。
最後に $\lambda = 7$ の時
$\begin{pmatrix} 3 - 7 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 7 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} -4 & 2 & -3 \\ 2 & - 4 & -3 \\ -3 & -3 & - 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4x + 2y - 3z \\ 2x - 4y - 3z \\ -3x - 3y - 9z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
$\left\{ \begin{aligned} -4x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x - 4y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y - 9z &= 0 \end{aligned} \right.$
を解くと $y = x$ かつ $z = - \dfrac{2}{3}x$ となる。
よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \end{pmatrix}$ $(c_3 \not=0)$ である。
$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから
$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{11}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{22}}$
よって
$T = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{11}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{11}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{3}{\sqrt{11}} & 0 & - \dfrac{2}{\sqrt{22}} \end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{22}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ 3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$
である。