仮定から, $\lambda = -4,1,7$ は $A$ の固有値である。

$\lambda = -4$ の時

$ $$\begin{pmatrix} 3 + 4 & 2 & -3 \\ 2 & 3 + 4 & -3 \\ -3 & -3 & -2 + 4 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 7 & 2 & -3 \\ 2 & 7 & -3 \\ -3 & -3 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 7x + 2y - 3z \\ 2x + 7y - 3z \\ - 3x - 3y + 2z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} 7x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x + 7y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y + 2z &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $y = x$ かつ $z = 3x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ $ $(c_1 \not=0)$ である。

また $\lambda = 1$ の時

$ $$\begin{pmatrix} 3 - 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 1 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -3 \\ -3 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 2x + 2y - 3z \\ 2x + 2y - 3z \\ -3x - 3y - 3z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} 2x + 2y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y -3z &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $y = -x$ かつ $z = 0$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 $$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $ $(c_2 \not=0)$ である。

最後に $\lambda = 7$ の時

$ $$\begin{pmatrix} 3 - 7 & 2 & -3 \\ 2 & 3 - 7 & -3 \\ -3 & -3 & -2 - 7 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} -4 & 2 & -3 \\ 2 & - 4 & -3 \\ -3 & -3 & - 9 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -4x + 2y - 3z \\ 2x - 4y - 3z \\ -3x - 3y - 9z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} -4x + 2y - 3z &= 0 \\ 2x - 4y - 3z &= 0 \\ -3x - 3y - 9z &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $y = x$ かつ $z = - \dfrac{2}{3}x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 $$\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \end{pmatrix}$$ $ $(c_3 \not=0)$ である。

$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから

$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{11}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{22}}$

よって

$T = $$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{11}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{11}}  & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{3}{\sqrt{22}} \\ \dfrac{3}{\sqrt{11}} & 0 & - \dfrac{2}{\sqrt{22}} \end{pmatrix}$$ =\dfrac{1}{\sqrt{22}} $$\begin{pmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{11} & 3 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{11} & 3 \\ 3\sqrt{2} & 0 & -2 \end{pmatrix}$$ $

である。