仮定から, $\lambda = -4,-1,1$ は $A$ の固有値である。

$\lambda = -4$ の時

$ $$\begin{pmatrix} -2 + 4 & 1 & -1 \\ 1 & -1 + 4 & 2 \\ -1 & 2 & -1 + 4 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 2x + y - z \\ x + 3y + 2z \\ -x + 2y + 3z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} 2x + y - z &= 0 \\ x + 3y + 2z &=0\\ -x + 2y + 3z &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $z = -y$ かつ $y = -x$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_1} = c_1 $$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $ $(c_1 \not=0)$ である。

また $\lambda = -1$ の時

$ $$\begin{pmatrix} -2 + 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 + 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 + 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} - x + y - z \\ x + 2z \\ -x + 2y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} -x + y - z &= 0 \\ x + 2z &= 0 \\ -x + 2y &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $x = 2y$ かつ $z = -y$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_2} = c_2 $$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $ $(c_2 \not=0)$ である。

最後に $\lambda = 1$ の時

$ $$\begin{pmatrix} -2 - 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 - 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 - 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -3x + y - z \\ x - 2y + 2z \\ -x + 2y - 2z \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

$\left\{ $$\begin{aligned} -3x + y - z &= 0 \\ x - 2y + 2z  &= 0 \end{aligned}$$ \right.$

を解くと $x = 0$ かつ $z = y$ となる。

よって固有ベクトルは $\overrightarrow{v_3} = c_3 $$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ $ $(c_3 \not=0)$ である。

$T$ が直交行列である時 $ |\overrightarrow{v_1}| = |\overrightarrow{v_2}| = |\overrightarrow{v_3}| = 1$ であるから

$c_1 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}},~c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}},~c_3 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

よって

$T = $$\begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{3}} &\dfrac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ - \dfrac{1}{\sqrt{3}} & \dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} & -\dfrac{1}{\sqrt{6}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$ =\dfrac{1}{\sqrt{6}} $$\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 2 & 0 \\ -\sqrt{2} & 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{2} & -1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$$ $

である。