べき乗の計算
1
行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$ に対し $A^n$ を計算したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -3 + 2^{n+2} & -4 + 2^{n+2} \\ 3 - 3\cdot 2^n & 4 - 3\cdot 2^n \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 + 2^n & -4 + 2^n \\ 3 - 3\cdot 2^n & 4 - 3\cdot 2^n \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 - 3\cdot 2^n & 4 - 2^{n+2} \\ -3 + 3\cdot 2^n & -3 + 2^{n+2} \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 - 3\cdot 2^n & 4 - 2^n \\ -3 + 3\cdot 2^n & -3 + 2^n \end{pmatrix}$
$2$ 次の行列 $A$ が対角化可能である時, $A$ の固有値を $\lambda_1,~\lambda_2$ とし, 対角化行列を $P$ とすると
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$
が成り立つので特に
$A= P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A^n & = & \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right) \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\cdots \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}E \cdots E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \\[1em]& = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} P^{-1} \end{eqnarray*}$
が成り立つ。
$|\lambda E -A| = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda -1)(\lambda - 2)$
であるから $A$ の固有値は $\lambda =1,~2$ であり, 固有ベクトルを計算することで対角化行列
$P = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$
を得る。よって
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A^n & = & P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2^n & 2^n \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3 + 2^{n+2} & -4+2^{n+2} \\ 3 - 3\cdot 2^n & 4 - 3\cdot 2^n \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
となる。
2
行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ に対し $A^n$ を計算したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$ \begin{pmatrix} -2^{n+1} + 3^{n+1} & -3\cdot 2^n+3^{n+1} \\ 2^{n+1} - 2\cdot 3^n & 3\cdot 2^n - 2\cdot 3^n \end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix} -2^n + 3^n & -3\cdot 2^n+3^n \\ 2^n - 2\cdot 3^n & 3\cdot 2^n - 2\cdot 3^n \end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix} 3\cdot 2^n - 2\cdot 3^n & 3\cdot 2^n-3^{n+1} \\ -2^{n+1} + 2\cdot 3^n & -2^{n+1} + 3^{n+1} \end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix} 3\cdot 2^n - 2\cdot 3^n & 3\cdot 2^n-3^n \\ -2^n + 2\cdot 3^n & -2^n + 3^n \end{pmatrix}$
$2$ 次の行列 $A$ が対角化可能である時, $A$ の固有値を $\lambda_1,~\lambda_2$ とし, 対角化行列を $P$ とすると
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$
が成り立つので特に
$A= P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A^n & = & \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right) \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\cdots \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}E \cdots E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \\[1em]& = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} P^{-1} \end{eqnarray*}$
が成り立つ。
$|\lambda E -A| = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda -2)(\lambda - 3)$
であるから $A$ の固有値は $\lambda =2,~3$ であり, 固有ベクトルを計算することで対角化行列
$P = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$
を得る。よって
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A^n & = & P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2^{n+1} & -3\cdot 2^n \\ 3^n & 3^n \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2^{n+1} + 3^{n+1} & -3\cdot 2^n+3^{n+1} \\ 2^{n+1} - 2\cdot 3^n & 3\cdot 2^n - 2\cdot 3^n \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
となる。
3
行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$ に対し $A^n$ を計算したものとして正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ (-1)^{n+1}\cdot2 & (-1)^n \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2^n & 1 \\ (-2)^n & (-1)^n \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2^{n+1} - 2 & 1 \\ -2^{n+1} + 2 & -2^n + 1 \end{pmatrix}$
$2$ 次の行列 $A$ が対角化可能である時, $A$ の固有値を $\lambda_1,~\lambda_2$ とし, 対角化行列を $P$ とすると
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$
が成り立つので特に
$A= P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A^n & = & \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right) \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\cdots \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}E \cdots E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \\[1em]& = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} P^{-1} \end{eqnarray*}$
が成り立つ。
$|\lambda E -A| = \lambda^2 - \lambda = \lambda(\lambda -1)$
であるから $A$ の固有値は $\lambda =0,1$ であり, 固有ベクトルを計算することで対角化行列
$P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
を得る。よって
$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
であるから
$\begin{eqnarray*} A^n & = & P \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$
となる。
2次形式の表現2
1
$2$ 次形式 $x^2 + 2y^2 -z^2 + 2xy + 4yz - 2zx$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$x^2 + 2y^2 -z^2 + 2xy + 4yz - 2zx = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
が成り立つ。
2
$2$ 次形式 $3x^2 - y^2 + 2z^2 - 4xy + 6yz + 6zx$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ -2 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -4 & 6 \\ -4 & -1 & 6 \\ 6 & 6 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 3 & -4 & 6 \\ -4 & 1 & 6 \\ 6 & 6 & 2 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$3x^2 - y^2 + 2z^2 - 4xy + 6yz + 6zx = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ -2 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
が成り立つ。
3
$2$ 次形式 $2x^2 - 4y^2 + 4z^2 + 2xy - 4yz + 4zx$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 2 & -4 & -4 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & -4 \\ 4 & -4 & 2 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$2x^2 - 4y^2 + 4z^2 + 2xy - 4yz + 4zx = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
が成り立つ。
4
$2$ 次形式 $(x+2y+3z)^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 12 \\ 6 & 12 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 12 \\ 6 & 12 & 3 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表せる。
$(x+2y+3z)^2 = x^2 + 4y^2 + 9z^2 + 4xy + 12yz + 6zx$
であるから
$(x+2y+3z)^2 = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
が成り立つ。