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$2$ 次形式 $3x^2 - 2xy + 3y^2$ を直交行列 $T$ を用いて標準形に直すと $4x'^2 + 2y'^2$ となった。
この時 $T$ として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(11−11)$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(111−1)$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(−111−1)$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1−1−11)$
$3x^2 - 2xy + 3y^2 = (xy) (3−1−13)(xy)$
であるから $A = (3−1−13)$ とすると,
標準形が $4x'^2 + 2y'^2$ であることから $A$ の固有値は $\lambda = 4,~2$ である。
$\lambda = 4$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_1} = c_1(1−1)$
同様に $\lambda = -5$ に対応する固有ベクトルを求めると
$\overrightarrow{v_2} = c_1(11)$
となる。
$| \overrightarrow{v_1}| = | \overrightarrow{v_2}| = 1$ とすると
$c_1 = c_2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
となるので
$T = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(11−11)$
とすれば $T$ は求める直交行列となる。
※注意
$T' = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(111−1)$
も対角化する直交行列であるが, $T'$ で標準形に直すと
$2x'^2 + 4y'^2$
となり仮定に反するので, この場合は不適切である。