$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて

$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と表せる。よって

$5x^2 - 2xy + 5y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

が成り立つ。

$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて

$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と表せる。よって

$7x^2 - 4xy + 4y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

が成り立つ。

$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて

$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と表せる。よって

$-6x^2 - 6xy + 2y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

が成り立つ。

$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて

$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と表せる。よって

$x^2 + 2xy - y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

が成り立つ。