$2$ 次形式 $10x^2 - 10xy + 10y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 10 & 10 \\ 10 & 10 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$10x^2 - 10xy + 10y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & -5 \\ -5 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$2$ 次形式 $5x^2 - 2xy + 5y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$5x^2 - 2xy + 5y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$2$ 次形式 $7x^2 - 4xy + 4y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$7x^2 - 4xy + 4y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$2$ 次形式 $-6x^2 - 6xy + 2y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -6 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -6 & -6 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -3 & -6 \\ -6 & 1 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$-6x^2 - 6xy + 2y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。
$2$ 次形式 $x^2 + 2xy - y^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + bxy + cy^2$ は対称行列を用いて
$ax^2 + bxy + cy^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{b}{2} \\ \dfrac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
と表せる。よって
$x^2 + 2xy - y^2 = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が成り立つ。