$2$ 次の行列 $A$ が対角化可能である時, $A$ の固有値を $\lambda_1,~\lambda_2$ とし, 対角化行列を $P$ とすると

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$

が成り立つので特に

$A= P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1}$

であるから

$\begin{eqnarray*} A^n & = & \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right) \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\cdots \left(P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \right)\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}E \cdots E \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} P^{-1} \\[1em]& = & P \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & P \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} P^{-1} \end{eqnarray*}$

が成り立つ。

$|\lambda E -A| = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda -1)(\lambda - 2)$

であるから $A$ の固有値は $\lambda =1,~2$ であり, 固有ベクトルを計算することで対角化行列

$P = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

を得る。よって

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

であるから

$\begin{eqnarray*} A^n & = & P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n P^{-1}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2^n & 2^n \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3 + 2^{n+2} & -4+2^{n+2} \\ 3 - 3\cdot 2^n & 4 - 3\cdot 2^n \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$

となる。