$2$ 次形式 $(x+2y+3z)^2$ を対称行列 $A$ を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表した時, $A$ として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 12 \\ 6 & 12 & 9 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 4 & 2 & 12 \\ 6 & 12 & 3 \end{pmatrix}$
$2$ 次形式 $ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$ は対称行列を用いて
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \dfrac{d}{2} & \dfrac{f}{2} \\ \dfrac{d}{2} & b & \dfrac{e}{2} \\ \dfrac{f}{2} & \dfrac{e}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
と表せる。
$(x+2y+3z)^2 = x^2 + 4y^2 + 9z^2 + 4xy + 12yz + 6zx$
であるから
$(x+2y+3z)^2 = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$
が成り立つ。