$\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とする。

線形変換の表現行列を行基本変形すると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & -1 \\ 0 & -6 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

が成り立つ。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+5y \\ 6y - z \\ 0 \end{pmatrix}$

より

$x = -5y~$ かつ $~z = 6y$

であるから

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5y \\ y \\ 6y \end{pmatrix}= y\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

よってこの線形変換で原点に移される点は, 原点を通り $\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}$ を方向ベクトルに持つ直線, 

すなわち, 方程式 $-\dfrac{x}{5} = y = \dfrac{z}{6}$ で表される直線上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 4 & -4 \\ -4 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とする。

線形変換の表現行列を行基本変形すると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 4 & -4 \\ -4 & 0 & 2 \end{pmatrix} & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & -8 & 4 \\ 0 & 12 & -6 \end{pmatrix} \\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & \longrightarrow & \begin{pmatrix} 1 & 0 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

が成り立つ。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x- \dfrac{z}{2} \\ y - \dfrac{z}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

より

$x = y = \dfrac{z}{2}$

よってこの線形変換で原点に移される点は, 原点を通り $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を方向ベクトルに持つ直線, 

すなわち, 方程式 $x = y = \dfrac{z}{2}$ で表される直線上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とする。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = & -8 + 0 + 0 + 8 + 16 - 0\\[1em] & = & 16 \not=0 \end{eqnarray*}$

よって行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ は正則である。

すなわち

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

となり, この線形変換で原点に移される点は原点のみである。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とする。

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{vmatrix} & = & 0 - 48 - 64 + 16 - 0 + 64 \\[1em] & = & - 32 \not=0 \end{eqnarray*}$

よって行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix}$ は正則である。

すなわち

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \\ -4 & -4 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

となり, この線形変換で原点に移される点は原点のみである。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -4 & -4 & 12 \\ -5 & -5 & 15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とする。

線形変換の表現行列を行基本変形すると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -4 & -4 & 12 \\ -5 & -5 & 15 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

である。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y - 3z \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

であるから

$x + y - 3z = 0$

よって, この線形変換で原点に移される点は平面 $x + y - 3z = 0$ 上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ -12 & 12 & -3 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

とする。

線形変換の表現行列を行基本変形すると

$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ -12 & 12 & -3 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって

$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

である。

$\begin{pmatrix} 4 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x - 4y + z \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

であるから

$4x - 4y + z = 0$

よって, この線形変換で原点に移される点は平面 $4x - 4y + z = 0$ 上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。