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問題
平面上の点 ${\rm P}$ を, ${\rm P}$ と $x$ 軸に関して対称な点 ${\rm P'}$ に対応させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
問題
平面上の点 ${\rm P}$ を, ${\rm P}$ と $y$ 軸に関して対称な点 ${\rm P'}$ に対応させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y)$ と ${\rm P'}(x',y')$ は $y$ 軸に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= y \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。
問題
平面上の点 ${\rm P}$ を, ${\rm P}$ と原点に関して対称な点 ${\rm P'}$ に対応させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y)$ と ${\rm P'}(x',y')$ は, 原点に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= -y \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。
問題
平面上の点 ${\rm P}$ を, ${\rm P}$ と直線 $y = x$ に関して対称な点 ${\rm P'}$ に対応させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y)$ と ${\rm P'}(x',y')$ は直線 $y = x$ に関して対称なので
- 点 ${\rm P}$ と ${\rm P'}$ の中点は, 直線 $y = x$ 上にあり,
- ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}} = \begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \end{pmatrix}$ は, 直線 $y = x$ の方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$ と直交している。
よって
$\dfrac{x+x'}{2} = \dfrac{y+ y'}{2}$
かつ
$(x'-x) + (y'-y) = 0$
この $2$ つの式から
$\left\{ \begin{aligned} x' &= y \\ y' &= x \end{aligned} \right.$
が成り立つことがわかる。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ である。
問題
平面上の点 ${\rm P}$ を, ${\rm P}$ と直線 $y = -x$ に関して対称な点 ${\rm P'}$ に対応させる線形変換を表す行列として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y)$ と ${\rm P'}(x',y')$ は直線 $y = -x$ に関して対称なので
- 点 ${\rm P}$ と ${\rm P'}$ の中点は, 直線 $y = -x$ 上にあり,
- ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}} = \begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \end{pmatrix}$ は, 直線 $y = -x$ の方向ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}$ と直交している。
よって
$\dfrac{y+y'}{2} = - \dfrac{x+ x'}{2}$
かつ
$(x'-x) - (y'-y) = 0$
この $2$ つの式から
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -y \\ y' &= -x \end{aligned} \right.$
が成り立つことがわかる。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ である。
点 ${\rm P}(x,y)$ と ${\rm P'}(x',y')$ は $x$ 軸に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= x \\ y' &= -y \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。