$Q1$.
次の行列により表される線形変換により, 点 $(-4,-2)$ はどの点に移されるか答えなさい。
解答・解説を見る$Q2$.
ある行列 $P$ により表される線形変換により, 点 $(1,2)$ は 点 $(1,9)$ に, 点 $(-2,3)$ は点 $(5,3)$ に移された。この時, 行列 $P$ を求めなさい。
解答・解説を見る$ P = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると, 仮定から
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 9 \end{pmatrix}$, $~~\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$
となることがわかります。これを $1$ つにまとめると
$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}$
となります。
$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 7\not=0$ より, 右から $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列をかけると
$\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} -7 & 7 \\ 21 & 21 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
となります。
$Q3$.
線形変換 $f:(x,y) \mapsto (-3x-3y,5x-4y)$ を表す行列を求めなさい。
解答・解説を見る変換後の点を $(x',y')$ とすると
$\begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3x-3y \\ 5x-4y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & -3 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
となることがわかります。
よって, この線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix}-3 & -3 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$ となります。
$Q4$.
次の行列で表される線形変換により原点に移される点はどのような点か答えなさい。
解答・解説を見る点 $(x,y)$ が原点に移されるとすると
$\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
であり, 左辺は
$\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x-y \\ -6x+2y \end{pmatrix}$
となるので $\begin{pmatrix} 3x -y \\ -6x+2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より $y=3x$ となります。よって
$\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow y=3x$
であることがわかります。
$2$ 次の行列 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ が与えられた時, 点 $(x,y)$ を
$\begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$
で定まる点 $(x',y')$ に移す変換は線形変換になります。
この線形変換を, 行列 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ により表される線形変換といいます。
$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -8-4 \\ 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 12 \end{pmatrix}$
であるから, この線形変換により点 $(-4,-2)$ は点 $(-12,12)$ に移されます。