$ $$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} x - y \\ -x + y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

より $y = x$ が成り立つ。

よってこの線形変換により原点に移される点は, 直線 $y = x$ 上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$ $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ^{-1} = \dfrac{1}{2} $$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $

であるから, 左辺から $ $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ^{-1}$ を掛ければ

$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ^{-1} $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

よってこの線形変換により原点に移される点は, 原点のみである。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$ $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ ^{-1} = \dfrac{1}{3} $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $

であるから, 左辺から $ $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ ^{-1}$ を掛ければ

$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ ^{-1} $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

よってこの線形変換により原点に移される点は, 原点のみである。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。

$ $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

とすると

$ $$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 2x - y \\ -2x + y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

より $y= 2x$ が成り立つ。

よってこの線形変換により原点に移される点は, 直線 $y = 2x$ 上の点である。

※注意

線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。