$4$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いてそれぞれ表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= -\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) \end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\\ \overrightarrow{y} &= -\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)\end{aligned} \right.$
$2$ つの式を足すと
$2\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
となるので, 両辺を $2$ で割ると
$\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)$
また, $2$ つの式を引くと
$2\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
となるので, 両辺を $2$ で割ると
$\overrightarrow{y} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right)$
$4$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いてそれぞれ表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= \overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式に $2$ 番目の式の $2$ 倍を足すと
$3\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$
よって $\overrightarrow{x} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$
また, $1$ 番目の式から $2$ 番目の式を引くと
$3\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
となるので $\overrightarrow{y} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{a} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$ である。
$4$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いてそれぞれ表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y} &= 2\overrightarrow{a}\\ 2\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} &= 4\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b} \\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= \dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} - \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b} \\ \overrightarrow{y} &= -\dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= -\dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式から $2$ 番目の式の $3$ 倍を引くと
$-5\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 12\overrightarrow{b}$
両辺を $-5$ で割ると
$\overrightarrow{x} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{a} + \dfrac{12}{5}\overrightarrow{b}$
また, $1$ 番目の式の $2$ 倍して $2$ 番目の式を引くと
$5\overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{a} - 4\overrightarrow{b}$
となるので, 両辺を $5$ で割ると
$\overrightarrow{y} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{a} -\dfrac{4}{5} \overrightarrow{b}$
$4$ つのベクトル $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ が次を満たす時, $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いてそれぞれ表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} + 3\overrightarrow{y} &= 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\\ 2\overrightarrow{x} -\overrightarrow{y} &= -\overrightarrow{a} + 4\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{13}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{11}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{2}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{5}{7}\overrightarrow{a} - \dfrac{11}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{3}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned} \overrightarrow{x} &= -\dfrac{1}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{13}{7}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{y} &= \dfrac{3}{7}\overrightarrow{a} + \dfrac{6}{7}\overrightarrow{b}\end{aligned} \right.$
$1$ 番目の式に $2$ 番目の式の $3$ 倍を足すと
$7\overrightarrow{x} = -\overrightarrow{a} + 13\overrightarrow{b}$
よって $\overrightarrow{x} = -\dfrac{1}{7}\overrightarrow{a}+ \dfrac{13}{7}\overrightarrow{b}$
また, $1$ 番目の式を $2$ 倍してから $2$ 番目の式を引くと
$7\overrightarrow{y} = 5\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$
となるので $\overrightarrow{y} = \dfrac{5}{7} \overrightarrow{a} - \dfrac{2}{7}\overrightarrow{b}$ である。