次の空欄に当てはまる最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm BD}} + \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm DC}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$
$\overrightarrow{{\rm OC}}$
$\overrightarrow{{\rm AD}}$
$\overrightarrow{{\rm OD}}$
$\overrightarrow{{\rm BC}}$
交換法則と結合法則を利用すると
$\begin{eqnarray*}\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm BD}} + \overrightarrow{{\rm AB}} + \overrightarrow{{\rm DC}} &=& \left(\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AB}} \right)+ \left(\overrightarrow{{\rm BD}} + \overrightarrow{{\rm DC}} \right)\\[1em] & = &\overrightarrow{{\rm OB}} +\overrightarrow{{\rm BC}} =\overrightarrow{{\rm OC}} \end{eqnarray*}$
となる。
次の空欄に当てはまる最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{{\rm OA}} + \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}+ \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm AC}} = \overrightarrow{{\rm OB}} $
$\overrightarrow{{\rm CD}}$
$\overrightarrow{{\rm AD}}$
$\overrightarrow{{\rm AB}}$
$\overrightarrow{{\rm CB}}$
$\overrightarrow{{\rm OA}} + \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}+ \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm AC}} = \overrightarrow{{\rm OB}} $
両辺から $\overrightarrow{{\rm DB}}$ を引くと
$\left(\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm AC}}\right) + \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}= \overrightarrow{{\rm OB}} - \overrightarrow{{\rm DB}}$
$\overrightarrow{{\rm OC}} + \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}= \overrightarrow{{\rm OD}}$
よって
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}= \overrightarrow{{\rm OD}} - \overrightarrow{{\rm OC}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$
次の空欄に当てはまる最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm BC}} - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} + \overrightarrow{{\rm CB}} = \overrightarrow{{\rm OB}}$
$\overrightarrow{{\rm BA}}$
$\overrightarrow{{\rm AB}}$
$\overrightarrow{{\rm CB}}$
$\overrightarrow{{\rm BO}}$
$\overrightarrow{{\rm OA}} + \overrightarrow{{\rm BC}} - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} + \overrightarrow{{\rm CB}} = \overrightarrow{{\rm OB}}$
両辺から $\overrightarrow{{\rm OA}}$ を引き, 整理すると
$\left(\overrightarrow{{\rm BC}}+ \overrightarrow{{\rm CB}}\right) - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm OB}} - \overrightarrow{{\rm OA}}$
$\overrightarrow{{\rm BB}} - \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm AB}}$
$\overrightarrow{{\rm BB}}$ を両辺から引くと
$-\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm AB}} - \overrightarrow{{\rm BB}} = \overrightarrow{{\rm AB}}$
よって
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = -\overrightarrow{{\rm AB}} =\overrightarrow{{\rm BA}}$
である。
一般に
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}$
が成り立つことに注意する。
次の空欄に当てはまる最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm OD}} + \overrightarrow{{\rm CA}} - \overrightarrow{{\rm CB}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$
$\overrightarrow{{\rm OC}}$
$\overrightarrow{{\rm AD}}$
$\overrightarrow{{\rm AB}}$
$\overrightarrow{{\rm CD}}$
$\overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm OD}} + \overrightarrow{{\rm CA}} - \overrightarrow{{\rm CB}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$
整理すると
$\left( \overrightarrow{{\rm AC}} + \overrightarrow{{\rm CA}} \right) + \left( \overrightarrow{{\rm DB}} + \overrightarrow{{\rm OD}} \right)- \overrightarrow{{\rm CB}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$
$\overrightarrow{{\rm AA}} + \overrightarrow{{\rm OB}}+ \overrightarrow{{\rm BC}} = \boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}}$
よって
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm AA}} + \overrightarrow{{\rm OB}}+ \overrightarrow{{\rm BC}} = \overrightarrow{{\rm OC}}$
となる。
次の空欄に当てはまる最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} - \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm OC}} - \overrightarrow{{\rm ED}} = \overrightarrow{{\rm OA}}$
$\overrightarrow{{\rm CD}}$
$\overrightarrow{{\rm DC}}$
$\overrightarrow{{\rm AD}}$
$\overrightarrow{{\rm CA}}$
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} - \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm OC}} - \overrightarrow{{\rm ED}} = \overrightarrow{{\rm OA}}$
分配法則から
$- \overrightarrow{{\rm AE}} - \overrightarrow{{\rm ED}} = - \left( \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm ED}} \right)$
であるから, 整理すると
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} - \left( \overrightarrow{{\rm AE}} + \overrightarrow{{\rm ED}} \right)= \overrightarrow{{\rm OA}} - \overrightarrow{{\rm OC}}$
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} - \overrightarrow{{\rm AD}} = \overrightarrow{{\rm CA}}$
よって
$\boxed{\phantom{\overrightarrow{aaa}}} = \overrightarrow{{\rm CA}}+ \overrightarrow{{\rm AD}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$
となる。