- : 現在の問題
- : 前回正解
- : 前回不正解
- : 未挑戦
※ 番号をクリックすると問題を選択することができます。
※ ログインすると解答履歴残すことができます。
問題
行列 $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ で表される線形変換によって原点に移される点を表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
直線 $y = -\dfrac{1}{2}x$ 上の点
直線 $y = \dfrac{1}{2}x$ 上の点
直線 $y = -2x$ 上の点
直線 $y = 2x$ 上の点
問題
行列 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ で表される線形変換によって原点に移される点を表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
直線 $y = x$ 上の点
直線 $y = - x$ 上の点
原点のみ
存在しない
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y \\ -x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
より $y = x$ が成り立つ。
よってこの線形変換により原点に移される点は, 直線 $y = x$ 上の点である。
※注意
線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。
問題
行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ で表される線形変換によって原点に移される点を表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
原点のみ
存在しない
直線 $y= x$ 上の点
直線 $y= -x$ 上の点
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
であるから, 左辺から $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}$ を掛ければ
$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
よってこの線形変換により原点に移される点は, 原点のみである。
※注意
線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。
問題
行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ で表される線形変換によって原点に移される点を表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
原点のみ
存在しない
直線 $y = -\dfrac{1}{2}x$ 上の点
直線 $y = -2x$ 上の点
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
であるから, 左辺から $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$ を掛ければ
$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
よってこの線形変換により原点に移される点は, 原点のみである。
※注意
線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。
問題
行列 $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ で表される線形変換によって原点に移される点を表したものとして最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
直線 $y = 2x$ 上の点
直線 $y = -2x$ 上の点
原点のみ
存在しない
$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y \\ -2x + y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
より $y= 2x$ が成り立つ。
よってこの線形変換により原点に移される点は, 直線 $y = 2x$ 上の点である。
※注意
線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。
$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
とすると
$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + 4y \\ -x -2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
より $y = -\dfrac{1}{2}x$ である。
よってこの線形変換により原点に移される点は, 直線 $y = -\dfrac{1}{2}x$ 上の点である。
※注意
線形変換 $f$ に対し, $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{0}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ 全体を $f$ の 核 という。