- : 現在の問題
- : 前回正解
- : 前回不正解
- : 未挑戦
※ 番号をクリックすると問題を選択することができます。
※ ログインすると解答履歴残すことができます。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と $x$ 軸に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と $y$ 軸に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $y$ 軸に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= y \\ z' &= -z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\ y \\ -z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と $z$ 軸に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $z$ 軸に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= -y \\ z' &= z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\ -y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と $xy$ 平面に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $xy$ 平面に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= x \\ y' &= y \\ z' &= -z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} x \\ y \\ -z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と $yz$ 平面に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $yz$ 平面に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= y \\ z' &= z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と $zx$ 平面に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $zx$ 平面に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= x \\ y' &= -y \\ z' &= z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} x \\ -y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と 原点に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は 原点に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x \\ y' &= -y \\ z' &= -z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -x \\ -y \\ -z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と平面 $x - y = 0$ に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ の中点は平面 $x-y =0$ 上にあるので
$\dfrac{x + x'}{2} - \dfrac{y + y'}{2} = 0 ~~ \cdots ( {\rm i} )$
また, ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}}$ は平面 $x - y = 0$ の法線ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ に平行なので
$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \\ z' - z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
ここから
$x' - x = - (y' - y)$ かつ $z' - z = 0 ~~ \cdots ( {\rm ii} )$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ から
$\left\{ \begin{aligned} x' &= y \\ y' &= x \\ z' &= z \end{aligned} \right.$
であることがわかる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} y \\ x \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換の表現行列は $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と平面 $x + z = 0$ に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ の中点は平面 $x+z =0$ 上にあるので
$\dfrac{x + x'}{2} + \dfrac{z + z'}{2} = 0 ~~ \cdots ( {\rm i} )$
また, ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}}$ は平面 $x + z = 0$ の法線ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ に平行なので
$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \\ z' - z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
ここから
$x' - x = z' - z$ かつ $y' - y = 0 ~~ \cdots ( {\rm ii} )$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ から
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -z \\ y' &= y \\ z' &= -x \end{aligned} \right.$
であることがわかる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -z \\ y \\ -x \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換の表現行列は $\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ である。
問題
空間上の点 ${\rm P}(x,y,z)$ を, ${\rm P}$ と平面 $y - z = 0$ に関して対称な点 ${\rm P'}(x',y',z')$ に対応させる線形変換を表す行列として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ の中点は平面 $y-z =0$ 上にあるので
$\dfrac{y + y'}{2} - \dfrac{z + z'}{2} = 0 ~~ \cdots ( {\rm i} )$
また, ベクトル $\overrightarrow{{\rm PP'}}$ は平面 $y - z = 0$ の法線ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ に平行なので
$\begin{pmatrix} x' - x \\ y' - y \\ z' - z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
ここから
$y' - y = - (z' - z)$ かつ $x' - x = 0 ~~ \cdots ( {\rm ii} )$
$({\rm i})$ と $({\rm ii})$ から
$\left\{ \begin{aligned} x' &= x \\ y' &= z \\ z' &= y \end{aligned} \right.$
であることがわかる。よって
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} x \\ z \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換の表現行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ である。
点 ${\rm P}(x,y,z)$ と ${\rm P'}(x',y',z')$ は $x$ 軸に関して対称なので
$\left\{ \begin{aligned} x' &= x \\ y' &= -y \\ z' &= -z \end{aligned} \right.$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} x \\ -y \\ -z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よってこの線形変換を表す行列は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ である。