$2$ 次の行列 $ $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ $ が与えられた時, 点 $(x,y)$ を

$ $$\begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix}ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$ $

で定まる点 $(x',y')$ に移す変換は線形変換になります。

この線形変換を, 行列 $ $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ $ により表される線形変換といいます。

$ $$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} -8-4 \\ 4+8 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} -12 \\ 12 \end{pmatrix}$$ $

であるから, この線形変換により点 $(-4,-2)$ は点 $(-12,12)$ に移されます。

$ P = $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ $ とすると, 仮定から

$ $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix}1 \\ 9 \end{pmatrix}$$ $, $~~ $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$$ $

となることがわかります。これを $1$ つにまとめると

$ $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}$$ $

となります。

$ $$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$$ = 7\not=0$ より, 右から $ $$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ $ の逆行列をかけると

$ $$\begin{eqnarray*}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}^{-1}\\[1em] & = & \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} -7 & 7 \\ 21 & 21 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となります。

変換後の点を $(x',y')$ とすると

$ $$\begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix}-3x-3y \\ 5x-4y\end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix}-3 & -3 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ $

となることがわかります。

よって, この線形変換を表す行列は $ $$\begin{pmatrix}-3 & -3 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$$ $ となります。

点 $(x,y)$ が原点に移されるとすると

$ $$\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $

であり, 左辺は

$ $$\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 3x-y \\ -6x+2y \end{pmatrix}$$ $

となるので $ $$\begin{pmatrix} 3x -y \\ -6x+2y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $ より $y=3x$ となります。よって

$ $$\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ \Leftrightarrow y=3x$

であることがわかります。