平面上の $3$ 点 ${\rm A}(1,1)$, ${\rm B}(2,2)$, ${\rm C}(4,1)$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{3}{4}\pi$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (1,1)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (3,0)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{3}{3\sqrt{2}}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
よって $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である。
平面上の $3$ 点 ${\rm A}(-2,0)$, ${\rm B}(1,5)$, ${\rm C}(2,1)$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{3}{4}\pi$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (3,5)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (4,1)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{17}{17\sqrt{2}}= \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
よって $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ である。
平面上の $3$ 点 ${\rm A}(3,4)$, ${\rm B}(1,8)$, ${\rm C}(5,5)$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$0$
$\pi$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-2,4)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (2,1)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{0}{10}= 0$
よって $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ である。
平面上の $3$ 点 ${\rm A}(5,1)$, ${\rm B}(3,-9)$, ${\rm C}(-1,10)$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{3}{4}\pi$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{5}{6}\pi$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (-2,-10)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-6,9)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{-78}{78\sqrt{2}}= -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
よって $\theta = \dfrac{3}{4}\pi$ である。
平面上の $3$ 点 ${\rm A}(-3,-2)$, ${\rm B}(-1,2)$, ${\rm C}(-6,-8)$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\pi$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$0$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2,4)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-3,-6)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{-30}{30}= -1$
よって $\theta = \pi$ である。
平面上の $3$ 点 ${\rm A}(-4,5)$, ${\rm B}(2,2)$, ${\rm C}(-2,4)$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$0$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\pi$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (6,-3)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (2,-1)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{15}{15}= 1$
よって $\theta = 0$ である。
平面上の $3$ 点 ${\rm A}(\sqrt{3},3)$, ${\rm B}(\sqrt{3},-5)$, ${\rm C}(2\sqrt{3},2)$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\dfrac{5}{6}\pi$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (0,-8)$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (\sqrt{3},-1)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{8}{16}= \dfrac{1}{2}$
よって $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ である。
平面上の $3$ 点 ${\rm A}(\sqrt{3} - \sqrt{2} ,1- \sqrt{6})$, ${\rm B}(\sqrt{3},1)$, ${\rm C}(-\sqrt{2},-\sqrt{6})$ に対し, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角 $\theta~~(0\leqq \theta \leqq \pi)$ として適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{5}{6}\pi$
$\dfrac{2}{3}\pi$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (\sqrt{2},\sqrt{6})$
かつ
$\overrightarrow{{\rm AC}} = (-\sqrt{3},-1)$
であるから, $\overrightarrow{{\rm AB}}$ と $\overrightarrow{{\rm AC}}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos \theta = \dfrac{ \overrightarrow{{\rm AB}}\cdot \overrightarrow{{\rm AC}} }{ |\overrightarrow{{\rm AB}}||\overrightarrow{{\rm AC}}| } = \dfrac{-2\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}= -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
よって $\theta = \dfrac{5}{6}\pi$ である。