平面上の $2$ 点 ${\rm A}(3,k)$, ${\rm B}(k,4)$ に対し, $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ の値が最も小さくなるような $k$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{7}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{7}{4}$
$\dfrac{1}{4}$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (k-3,4-k)$ より
$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{{\rm AB}}|^2 & = & (k-3)^2 + (4-k)^2\\[1em] & = & 2k^2-14k + 25\\[1em] & =& 2\left( k - \dfrac{7}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2}\end{eqnarray*}$
よって $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ は $k = \dfrac{7}{2}$ の時, 最小値 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を取る。
平面上の $2$ 点 ${\rm A}(1,k)$, ${\rm B}(k,2)$ に対し, $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ の値が最も小さくなるような $k$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{3}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$3$
$\dfrac{3}{4}$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (k-1,2-k)$ より
$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{{\rm AB}}|^2 & = & (k-1)^2 + (2-k)^2\\[1em] & = & 2k^2-6k + 5\\[1em] & =& 2\left( k - \dfrac{3}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{2}\end{eqnarray*}$
よって $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ は $k = \dfrac{3}{2}$ の時, 最小値 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を取る。
平面上の $2$ 点 ${\rm A}(k,-k)$, ${\rm B}(1,2)$ に対し, $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ の値が最も小さくなるような $k$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$-\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$-1$
$-\dfrac{3}{2}$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (1-k,2+k)$ より
$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{{\rm AB}}|^2 & = & (1-k)^2 + (2+k)^2\\[1em] & = & 2k^2+2k + 5\\[1em] & =& 2\left( k + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{9}{2}\end{eqnarray*}$
よって $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ は $k = -\dfrac{1}{2}$ の時, 最小値 $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ を取る。
平面上の $2$ 点 ${\rm A}(2k,k)$, ${\rm B}(1,3)$ に対し, $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ の値が最も小さくなるような $k$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$1$
$2$
$5$
$\dfrac{5}{3}$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (1-2k,3-k)$ より
$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{{\rm AB}}|^2 & = & (1-2k)^2 + (3-k)^2\\[1em] & = & 5k^2-10k + 10\\[1em] & =& 5\left( k - 1 \right)^2 + 5\end{eqnarray*}$
よって $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ は $k = 1$ の時, 最小値 $\sqrt{5}$ を取る。
平面上の $2$ 点 ${\rm A}(2,k)$, ${\rm B}(2k,-1)$ に対し, $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ の値が最も小さくなるような $k$ の値として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$\dfrac{3}{5}$
$\dfrac{6}{5}$
$\dfrac{16}{5}$
$\dfrac{2}{5}$
$\overrightarrow{{\rm AB}} = (2k-2,-1-k)$ より
$\begin{eqnarray*}|\overrightarrow{{\rm AB}}|^2 & = & (2k-2)^2 + (-1-k)^2\\[1em] & = & 5k^2-6k + 5\\[1em] & =& 5\left( k - \dfrac{3}{5} \right)^2 + \dfrac{16}{5}\end{eqnarray*}$
よって $|\overrightarrow{{\rm AB}}|$ は $k = \dfrac{3}{5}$ の時, 最小値 $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ を取る。