根号を含む場合
1
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6}$
$3$
$9$
$0$
$1$
$x \gt 0$ の時 $\dfrac{1}{x} = \sqrt{ \dfrac{1}{x^2} }$ であるから、分子と分母を $x$ で割ると
$\begin{eqnarray*} & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6}\\ =& \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2}}}{1 - \dfrac{6}{x} }\\[1em] =& \dfrac{\sqrt{9 - 0 + 0 }}{1 - 0} = 3 \end{eqnarray*}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6} = 3$ である。
2
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 9x - 9}}{-4x+4}$
$-1$
$-4$
$-2$
$-\dfrac{1}{2}$
$x \gt 0$ の時 $\dfrac{1}{x} = \sqrt{ \dfrac{1}{x^2} }$ であるから、分子と分母を $x$ で割ると
$\begin{aligned} &\lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 9x - 9}}{-4x+4}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16 + \dfrac{9}{x} - \dfrac{9}{x^2}}}{-4 + \dfrac{4}{x} }\\[1em] = &\dfrac{\sqrt{16 + 0 - 0 }}{-4 - 0}\\[1em] = &\dfrac{4}{-4} = -1 \end{aligned}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 9x - 9}}{-4x+4} = -1$ である。
3
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\}$
$12$
$6$
$7$
$24$
$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }{\sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(x^2+4x+1) - (x-10)^2}{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{24x - 99}{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} + (x-10) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{24 - \dfrac{99}{x}}{ \sqrt{1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2} } + 1 - \dfrac{10}{x} }\\[1em] = & \dfrac{24}{1 + 1} = 12 \end{aligned}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\} = 12$ である。
4
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x + 2) \right\}$
$0$
$1$
$4$
$2$
$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x+2) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} - (4x+2) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }{\sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(16x^2+16x+3) - (4x+ 2)^2}{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-1}{ \sqrt{16x^2 + 16x + 3} + (4x + 2) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ - \dfrac{1}{x}}{ \sqrt{16 + \dfrac{16}{x} + \dfrac{3}{x^2} } + 4 + \dfrac{2}{x} }= 0 \end{aligned}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 4x + 1} - (x-10) \right\} = 0$ である。
5
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x+ 4) \right\}$
$2$
$4$
$6$
$0$
$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x +4) \right\}\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x+4) \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }{\sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(9x^2+36x+5) - (3x+4)^2}{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{12x - 11}{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} + (3x+4) }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{12 - \dfrac{11}{x}}{ \sqrt{9 + \dfrac{36}{x} + \dfrac{5}{x^2} } + 3 + \dfrac{4}{x} }\\[1em] = & \dfrac{12}{3 + 3} = 2 \end{aligned}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{9x^2 + 36x + 5} - (3x + 4) \right\} = 2$ である。
6
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\}$
$-1$
$-2$
$0$
$\sqrt{2} - 2$
$\begin{aligned}& \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\} \\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\}\cdot \dfrac{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{(x^2+2x+3) - (x^2 + 4x - 3)}{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2x + 6}{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} }\\[1em] = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2 + \dfrac{6}{x}}{ \sqrt{1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2} } + \sqrt{1 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{3}{x^2} }}\\[1em] = & \dfrac{-2}{1 + 1} = -1 \end{aligned}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left\{ \sqrt{x^2 + 2x + 3} - \sqrt{x^2 + 4x - 3} \right\} = -1$ である。
x が限りなく大きくなる時
1
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ - 5x + 6}{9x - 10}$
$-\dfrac{5}{9}$
$-1$
$0$
$-\dfrac{3}{5}$
$c$ が定数で $n \gt 0$ の時
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$
であるから、分子と分母を $x$ で割ると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{ - 5x + 6}{9x - 10} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{- 5 + \dfrac{6}{x}}{ 9 - \dfrac{10}{x}}\\[1em] & = & \dfrac{ - 5 + 0}{9 - 0} = -\dfrac{5}{9}\end{eqnarray*}$
よって$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ - 5x + 6}{9x - 10} = -\dfrac{5}{9}$ である。
2
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ 3x - 2}{6x - 5}$
$\dfrac{1}{2}$
$1$
$0$
$\dfrac{2}{5}$
$c$ が定数で $n \gt 0$ の時
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$
であるから、分子と分母を $x$ で割ると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{ 3x - 2}{6x - 5} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ 3 - \dfrac{2}{x}}{ 6 - \dfrac{5}{x}}\\[1em] & = & \dfrac{ 3 - 0}{6 - 0} = \dfrac{1}{2}\end{eqnarray*}$
よって$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ 3x - 2}{6x - 5} = \dfrac{1}{2}$ である。
3
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{10x^2 - 5x + 6}{5x^2 + 9x + 10}$
$2$
$\dfrac{11}{24}$
$\dfrac{5}{14}$
$\infty$
$c$ が定数で $n \gt 0$ の時
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$
であるから、分子と分母を $x^2$ で割ると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{10x^2 - 5x + 6}{5x^2 + 9x + 10} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{10 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^2}}{5 + \dfrac{9}{x} + \dfrac{10}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{10 - 0 + 0}{5 + 0 + 0} = 2\end{eqnarray*}$
よって$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{10x^2 - 5x + 6}{5x^2 + 9x + 10} = 2$ である。
4
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2x^2 - 3x - 2}{2x^2 + 6x + 10}$
$-1$
$-2$
$-1$
$-\dfrac{1}{2}$
$c$ が定数で $n \gt 0$ の時
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$
であるから、分子と分母を $x^2$ で割ると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2x^2 - 3x - 2}{2x^2 + 6x + 10} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2 - \dfrac{3}{x} - \dfrac{2}{x^2}}{2 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{10}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{-2 - 0 - 0}{2 + 0 + 0} = -1\end{eqnarray*}$
よって$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{-2x^2 - 3x - 2}{2x^2 + 6x + 10} = -1$ である。
5
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{2x^2 - 6x - 8}{2x^2 - 3x - 9}$
$1$
$2$
$\dfrac{6}{5}$
$-2$
$c$ が定数で $n \gt 0$ の時
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$
であるから、分子と分母を $x^2$ で割ると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{2x^2 - 6x - 8}{2x^2 - 3x - 9} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{2 - \dfrac{6}{x} - \dfrac{8}{x^2}}{2 - \dfrac{3}{x} - \dfrac{9}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{2 - 0 - 0}{2 - 0 - 0} = 1\end{eqnarray*}$
よって$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{2x^2 - 6x - 8}{2x^2 - 3x - 9} = 1$ である。
6
次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{5x^2 - 9x + 2}{10x^2 - 7x - 6}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{2}{3}$
$-\dfrac{4}{3}$
$2$
$c$ が定数で $n \gt 0$ の時
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{c}{x^n} = 0$
であるから、分子と分母を $x^2$ で割ると
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{5x^2 - 9x + 2}{10x^2 - 7x - 6} & = & \lim_{x\to \infty} \dfrac{5 - \dfrac{9}{x} + \dfrac{2}{x^2}}{10 - \dfrac{7}{x} - \dfrac{6}{x^2}}\\[1em] & = & \dfrac{5 - 0 + 0}{10 - 0 - 0} = \dfrac{1}{2}\end{eqnarray*}$
よって$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{5x^2 - 9x + 2}{10x^2 - 7x - 6} = \dfrac{1}{2}$ である。