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次の極限の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6}$
$3$
$9$
$0$
$1$
$x \gt 0$ の時 $\dfrac{1}{x} = \sqrt{ \dfrac{1}{x^2} }$ であるから、分子と分母を $x$ で割ると
$\begin{eqnarray*} & \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6}\\ =& \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x^2}}}{1 - \dfrac{6}{x} }\\[1em] =& \dfrac{\sqrt{9 - 0 + 0 }}{1 - 0} = 3 \end{eqnarray*}$
よって $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{ \sqrt{9x^2 - 2x + 3}}{x-6} = 3$ である。