空間ベクトルの相等（成分表示）

$3$ 点 ${\rm A}(0,1,4)$, ${\rm B}(2,1,3)$, ${\rm C}(-1,1,2)$ に対し, 点 ${\rm D}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm D}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$(1,1,1)$
$(-1,1,3)$
$(3,-1,-3)$
$(-1,-1,-1)$

点 ${\rm D}$ の座標を $(x,y,z)$ とすると

$\overrightarrow{{\rm AB}} = ( 2-0 , 1-1 , 3-4 ) = (2,0,-1)$

$\overrightarrow{{\rm CD}} = ( x-(-1) , y-1 , z-2 ) = (x+1,y-1,z-2)$

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ より

$\left\{ \begin{aligned} x+1 &= 2 \\ y-1 &= 0 \\ z-2 &= -1 \end{aligned} \right.$

これを解くと $(x,y,z) = (1,1,1)$ である。

$3$ 点 ${\rm A}(-1,3,0)$, ${\rm B}(3,3,-2)$, ${\rm C}(1,-1,-1)$ に対し, 点 ${\rm D}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm D}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$(5,-1,-2)$
$(3,1,-1)$
$(-3,-1,1)$
$(-5,1,2)$

点 ${\rm D}$ の座標を $(x,y,z)$ とすると

$\overrightarrow{{\rm AB}} = ( 3-(-1) , 3-3 , -2-0 ) = (4,0,-2)$

$\overrightarrow{{\rm CD}} = ( x-1 , y-(-1) , z-(-1) ) = (x-1,y+1,z+1)$

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ より

$\left\{ \begin{aligned} x-1 &= 4 \\ y+1 &= 0 \\ z+1 &= -2 \end{aligned} \right.$

これを解くと $(x,y,z) = (5,-1,-2)$ である。

$3$ 点 ${\rm A}(-1,-1,6)$, ${\rm B}(2,3,4)$, ${\rm C}(5,-2,3)$ に対し, 点 ${\rm D}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm D}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$(8,2,1)$
$(-2,6,-5)$
$(2,-6,5)$
$(-8,-2,-1)$

点 ${\rm D}$ の座標を $(x,y,z)$ とすると

$\overrightarrow{{\rm AB}} = ( 2-(-1) , 3-(-1) , 4-6 ) = (3,4,-2)$

$\overrightarrow{{\rm CD}} = ( x-5 , y-(-2) , z-3 ) = (x-5,y+2,z-3)$

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ より

$\left\{ \begin{aligned} x-5 &= 3 \\ y +2 &= 4 \\ z-3 &= -2 \end{aligned} \right.$

これを解くと $(x,y,z) = (8,2,1)$ である。

$3$ 点 ${\rm A}(-3,-2,-1)$, ${\rm B}(1,2,3)$, ${\rm D}(1,1,2)$ に対し, 点 ${\rm C}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm C}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$(-3,-3,-2)$
$(5,5,6)$
$(3,3,2)$
$(-5,-5,-6)$

点 ${\rm C}$ の座標を $(x,y,z)$ とすると

$\overrightarrow{{\rm AB}} = ( 1-(-3) , 2-(-2) , 3-(-1) ) = (4,4,4)$

$\overrightarrow{{\rm CD}} = ( 1-x , 1-y , 2-z ) $

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ より

$\left\{ \begin{aligned} 1-x &= 4 \\ 1-y &= 4 \\ 2-z &= 4 \end{aligned} \right.$

これを解くと $(x,y,z) = (-3,-3,-2)$ である。

$3$ 点 ${\rm A}(4,-1,-4)$, ${\rm B}(2,-4,-3)$, ${\rm D}(0,2,0)$ に対し, 点 ${\rm C}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm C}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。

$(2,5,-1)$
$(2,7,7)$
$(-2,-1,1)$
$(-2,1,-1)$

点 ${\rm C}$ の座標を $(x,y,z)$ とすると

$\overrightarrow{{\rm AB}} = ( 2-4 , -4-(-1) , -3-(-4) ) = (-2,-3,1)$

$\overrightarrow{{\rm CD}} = ( 0-x , 2-y , 0-z ) =(-x, 2-y, -z)$

$\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ より

$\left\{ \begin{aligned} -x &= -2 \\ 2-y &= -3 \\ -z &= 1 \end{aligned} \right.$

これを解くと $(x,y,z) = (2,5,-1)$ である。

$3$ 点 ${\rm A}(0,2,-5)$, ${\rm B}(-1,6,0)$, ${\rm D}(3,2,-4)$ に対し, 点 ${\rm C}$ が $\overrightarrow{{\rm AB}} = \overrightarrow{{\rm CD}}$ を満たす時, 点 ${\rm C}$ の座標として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。