$P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ より

$P^{-1} = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

である。よって $P$ で対角化すると

$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\[1em] & = &\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & -9 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。

$P = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ より

$P^{-1} = \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

である。よって $P$ で対角化すると

$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & -6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ 10 & 0 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\end{eqnarray*}$

となる。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ より

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

である。よって $P$ で対角化すると

$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -10 & -8 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -16 \\ 2 & 12 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

となる。