直線 $y = 2x + 4$ 上の点 $(x,2x+4)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2x+4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x+4 \\ (a + 2b)x + 4b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 3x+4 \\ y' &= (a+2b)x + 4b \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 2x'+4$ が成り立つので, 代入すると

$(a+2b)x + 4b = 2(3x+4) + 4$

整理すると

$(a+2b)x + 4b = 6x + 12$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} a + 2b &= 6 \\ 4b &= 12 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = 0$, $b = 3$ となる。

よって $a = 0$ である。

直線 $y = 4x + 1$ 上の点 $(x,4x+1)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 4x+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 5x+1 \\ (a + 4b)x + b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 5x+1 \\ y' &= (a+4b)x + b \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 2x'+4$ が成り立つので, 代入すると

$(a+4b)x + b = 4(5x+1) + 1$

整理すると

$(a+4b)x + b = 20x + 5$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} a + 4b &= 20 \\ b &= 5 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = 0$, $b = 5$ となる。

よって $b = 5$ である。

直線 $y = 3x - 3$ 上の点 $(x,3x-3)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 3x-3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 4x-3 \\ (a + 3b)x - 3b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= 4x-3 \\ y' &= (a+3b)x - 3b \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 3x'-3$ が成り立つので, 代入すると

$(a+3b)x - 3b = 3(4x-3) - 3$

整理すると

$(a+3b)x - 3b = 12x - 12$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} a + 3b &= 12 \\ -3b &= -12 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = 0$, $b = 4$ となる。

よって $b = 4$ である。

直線 $y = 2x + 2$ 上の点 $(x,2x+2)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2x+2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 2b)x+2b \\ 3x + 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= (a+2b)x+2b \\ y' &= 3x + 2 \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 2x'+2$ が成り立つので, 代入すると

$3x + 2 = 2((a+2b)x + 2b) + 2$

整理すると

$3x + 2 = (2a + 4b)x + (4b + 2)$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} 2a + 4b &= 3 \\ 4b + 2 &= 2 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = \dfrac{3}{2}$, $b = 0$ となる。

よって $a = \dfrac{3}{2}$ である。

直線 $y = 4x + 1$ 上の点 $(x,4x+1)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 4x+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 4b)x+b \\ 5x + 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= (a+4b)x+b \\ y' &= 5x + 1 \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 4x'+1$ が成り立つので, 代入すると

$5x + 1 = 4((a+4b)x + b) + 1$

整理すると

$5x + 1 = (4a + 16b)x + (4b + 1)$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} 4a + 16b &= 5 \\ 4b + 1 &= 1 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = \dfrac{5}{4}$, $b = 0$ となる。

よって $a = \dfrac{5}{4}$ である。

直線 $y = 5x - 1$ 上の点 $(x,5x-1)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 5x-1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 5b)x - b \\ 6x - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= (a+5b)x - b \\ y' &= 6x - 1 \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 5x'-1$ が成り立つので, 代入すると

$6x - 1 = 5((a+5b)x - b) - 1$

整理すると

$6x - 1 = (5a + 25b)x - (5b + 1)$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} 5a + 25b &= 6 \\ - (5b + 1) &= -1 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = \dfrac{6}{5}$, $b = 0$ となる。

よって $a = \dfrac{6}{5}$ である。

直線 $y = 5x + 2$ 上の点 $(x,5x+2)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 5x+2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 5)x+2 \\ (1 + 5b)x + 2b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= (a+5)x+2 \\ y' &= ( 1 + 5b)x + 2b \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 5x'+2$ が成り立つので, 代入すると

$(1 + 5b)x + 2b = 5((a+5)x + 2) + 2$

整理すると

$(1 + 5b)x + 2b = (5a + 25)x + 12$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} 1 + 5b &= 5a + 25 \\ 2b &= 12 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = \dfrac{6}{5}$, $b = 6$ となる。

よって $b = 6$ である。

直線 $y = 3x - 5$ 上の点 $(x,3x- 5)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 3x-5 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 3)x-5 \\ (1 + 3b)x - 5b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= (a+3)x-5 \\ y' &= (1 + 3b)x - 5b \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 3x'-5$ が成り立つので, 代入すると

$(1 + 3b)x - 5b = 3((a+3)x - 5) -5$

整理すると

$(1 + 3b)x - 5b = (3a + 9)x - 20$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} 1 + 3b &= 3a + 9 \\ -5b &= -20 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = \dfrac{4}{3}$, $b = 4$ となる。

よって $b = 4$ である。

直線 $y = 2x + 1$ 上の点 $(x,2x+1)$ の像の座標を $(x',y')$ とすると

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 2x+1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} (a + 2)x+1 \\ (1 + 2b)x + b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

よって

$\left\{ \begin{aligned} x' &= (a+2)x+1 \\ y' &= ( 1 + 2b)x + b \end{aligned} \right.$

像が自分自身であることから $y' = 2x'+1$ が成り立つので, 代入すると

$(1 + 2b)x + b = 2((a+2)x + 1) + 1$

整理すると

$(1 + 2b)x + b = (2a + 4)x + 3$

これが全ての $x$ で成り立つので

$\left\{ \begin{aligned} 1 + 2b &= 2a + 4 \\ b &= 3 \end{aligned} \right.$

これを解くと $a = \dfrac{3}{2}$, $b = 3$ となる。

よって $b = 3$ である。