行列 $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による, 直線 $y = -3x - 4$ の像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$13x + 10y + 44 = 0$
$10x + 13y + 44 = 0$
$13x + 10y - 44 = 0$
$10x + 13y - 44 = 0$
$y = -3x -4$ より直線上の点は $(x, -3x -4)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ -3x - 4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 10x + 12 \\ -13x - 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= 10x + 12 \\ y' &= -13x -20 \end{aligned} \right.$
この式から $x$ を消去すると
$13x' + 10y' = -44$
よって像の方程式は $13x + 10y + 44 = 0$ である。
行列 $\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による, 直線 $y = 5x + 5$ の像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$4x + 11y + 5 = 0$
$11x - 4y + 10 = 0$
$11x + 4y + 5 = 0$
$4x - 11y + 10 = 0$
$y = 5x + 5$ より直線上の点は $(x, 5x + 5)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 5x + 5 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -11x - 15 \\ 4x + 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -11x - 15 \\ y' &= 4x + 5 \end{aligned} \right.$
この式から $x$ を消去すると
$4x' + 11y' = -5$
よって像の方程式は $4x + 11y + 5 = 0$ である。
行列 $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による, 直線 $y = 5x + 1$ の像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$2x - y + 1 = 0$
$x - 2y - 1 = 0$
$2x - y - 1 = 0$
$x - 2y + 1 = 0$
$y = 5x + 1$ より直線上の点は $(x, 5x + 1)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 5x + 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -x - 1 \\ -2x - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -x - 1 \\ y' &= -2x - 1 \end{aligned} \right.$
この式から $x$ を消去すると
$2x' - y' = -1$
よって像の方程式は $2x - y + 1 = 0$ である。
行列 $\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による, 直線 $y = 3x - 3$ の像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$4x - 9y - 21 = 0$
$4x - 9y + 21 = 0$
$4x + 9y - 21 = 0$
$4x + 9y + 21 = 0$
$y = 3x -3$ より直線上の点は $(x, 3x -3)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ 3x - 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -9x + 12 \\ -4x + 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -9x + 12 \\ y' &= -4x + 3 \end{aligned} \right.$
この式から $x$ を消去すると
$4x' - 9y' = 21$
よって像の方程式は $4x - 9y - 21 = 0$ である。
行列 $\begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ で表される線形変換による, 直線 $y = -3x + 2$ の像の方程式として最も適切なものを以下の選択肢から選びなさい。
$x - 5y + 12 = 0$
$5x - y - 36 = 0$
$x + 5y - 28 = 0$
$5x + y - 44 = 0$
$y = -3x + 2$ より直線上の点は $(x, -3x + 2)$ と表せるので, この点の線形変換による像 $(x',y')$ は
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = & \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ -3x + 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -15x + 8 \\ - 3x + 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
よって
$\left\{ \begin{aligned} x' &= -15x + 8 \\ y' &= -3x + 4 \end{aligned} \right.$
この式から $x$ を消去すると
$x' - 5y' = -12$
よって像の方程式は $x - 5y + 12 = 0$ である。