次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{pmatrix}$
正則である
正則でない
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1 & 1 & -1 \\ -4 & -2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = & -8 + 0 + 0 - 0 - (-16) - (-10)\\[1em] & = & 18 \not=0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則である。
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$
正則でない
正則である
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} & = & -1 + 0 -3 - 0 - (-2) - (-2) \\[1em] & = & 4-4 = 0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則でない。
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
正則でない
正則である
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}1 & 4 & -3 \\ -4 & 4 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \end{vmatrix} & = & 12 - 24 + 0 - 0 - (-48) - 36 \\[1em] & = & 60 -60 = 0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則でない。
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$
正則である
正則でない
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 3 & -3 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & -1 & -2 \\ 1 & -3 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & -1 & -3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -7 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 3 & -7 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -7 & 3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -7 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 3 & -7 & 4 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -7 & 3 \\ 0 & -7 & 5 \\ 0 & 14 & -5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -7 & 5 \\ 14 & -5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 35-70 = -35 \not=0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則である。
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} -8 & 4 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{pmatrix}$
正則でない
正則である
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -8 & 4 & 5 & 1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix} -1 & 2 & -5 & 3 \\ -8 & 4 & 5 & 1 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ -8 & 4 & 5 & 1 \\ 4 & 2 & -6 & 4 \\ -4 & 6 & -1 & 5 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ 0 & -12 & 45 & -23 \\ 0 & 10 & -26 & 16 \\ 0 & -2 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \begin{vmatrix} -12 & 45 & -23 \\ 10 & -26 & 16 \\ -2 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (-2) \times \begin{vmatrix} 6 & 45 & -23 \\ -5 & -26 & 16 \\ 1 & 19 & -7 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 19 & -7 \\ -5 & -26 & 16 \\ 6 & 45 & -23 \end{vmatrix}\\[1em] & = & 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 19 & -7 \\ 0 & 69 & -19 \\ 0 & -69 & 19 \end{vmatrix}\\[1em] & = &2 \times \begin{vmatrix} 69 & -19 \\ -69 & 19 \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則でない。
次の行列が正則かどうか判定しなさい。
$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{pmatrix}$
正則である
正則でない
正方行列 $A$ に対し
$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $|A| \not=0$
が成り立つ。
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 0 & 3 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{vmatrix} & = & - \begin{vmatrix}1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -2 & -3 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 3 & -10 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 3 & -10 \\ 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -9 & -28 \\ 0 & -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & - \begin{vmatrix} -9 & -28 \\ -2 & -6 \end{vmatrix}\\[1em] & = & -(54-56) = 2 \not=0 \end{eqnarray*}$
よってこの行列は正則である。