関数 $z = f(x,y)$ が全微分可能である時

$dz = \dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$

を関数 $z = f(x,y)$ の全微分といいます。

(1)
偏導関数を求めると

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = 8x - 3y$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = -3x + 12y$

よって $z$ の全微分は

$dz = (8x-3y)~dx + (-3x + 12y)~dy$

となります。

(2)
偏導関数を求めると

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = -2e^{-2x}\sin 5y$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = 5e^{-2x}\cos 5y$

よって $z$ の全微分は

$dz = (-2e^{-2x}\sin 5y)~dx + (5e^{-2x}\cos 5y)~dy$

となります。

$2$ 変数関数 $z = f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で全微分可能である時, グラフ上の点 $(a,b,f(a,b))$ における接平面の方程式は

$z - f(a,b) = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$

で与えられます。

与えられた関数を偏微分すると

$z_x = 10x^4 + 5y$

$z_y = 5x + 15y^4$

であるから, $(x,y) = (1,1)$ における偏微分係数は

$z_x = 15$

$z_y = 20$

また $(x,y) = (1,1)$ の時 $z = 10$ であるから, 接平面の方程式は

$z - 10 = 15(x-1) + 20(y-1)$

整理すると $15x + 20y -z = 25$ となります。