II. 2変数関数が全微分可能であるとは?
要点まとめ
- 関数 $f(x,y)$ について, 次が成り立つとき, $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 全微分可能 であるという。
$\varepsilon = \left( f(a+\Delta x,b+\Delta y) - f(a,b) \right) - \left( f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y\right)$
としたとき
$\displaystyle \lim_{(\Delta x, \Delta y)\to (0,0)} \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left( \Delta x\right)^2 + \left( \Delta y \right)^2 } }=0$
- $2$ 変数関数 $z=f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で全微分可能である時, グラフ上の点 $(a,b,f(a,b))$ における接平面の方程式は次で与えられる。
$z - f(a,b) = f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$
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