12. 媒介変数表示による図形 例題集

$Q1$.
次の図形の面積 $S$ を求めなさい。

$x = t^2$, $y=t(1-t)$ と $x$ 軸で囲まれた図形
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$S = \dfrac{1}{6}$

区間 $\alpha \lt t \lt \beta$ で $f'(t)$ の符号が一定の時, 媒介変数表示された曲線

$\left\{ x=f(t)y=g(t) \right.$

と $x$ 軸, 直線 $x = f(\alpha)$, $x=f(\beta)$ で囲まれた図形の面積は

$\displaystyle S = \int_{\alpha}^{\beta} \left| g(t)f'(t) \right|~dt$

で計算することができます。

$y=0$ とすると $t=0,1$ なので, 求める面積 $S$ は

$S=10|ydxdt| dt=10|t(1t)2t| dt=10(2t22t3) dt=[23t312t4]10=16$

$Q2$.
次の図形の面積 $S$ を求めなさい。

$x = t^2 -1$, $y=-(t-2)(t+1)$ と $x$ 軸で囲まれた図形
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$S = \dfrac{9}{2}$

$y=0$ とすると $t=-1,2$ であり, $\dfrac{dx}{dt} = 2t$ より

$-1 \lt t \lt 0$ の時 $\dfrac{dx}{dt} \lt 0$, $~~0 \lt t \lt 2$ の時 $\dfrac{dx}{dt} \gt 0$

となります。

よって求める面積 $S$ は

$S=20|ydxdt| dt01|ydxdt| dt=20|(t2)(t+1)2t| dt01|(t2)(t+1)2t| dt=20(t2)(t+1)2t dt01(t2)(t+1)2t dt=21(t2)(t+1)2t dt=21(2t3+2t2+4t) dt=[12t4+23t3+2t2]21=(8+163+8)(1223+2)=92$

$Q3$.
媒介変数表示された曲線

$\left\{ x=2costy=3sin2t\right.~~(0 \leqq t \leqq 2\pi)$

で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。

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$S = 16$

この曲線を図示すると下のようになります。

よって求める面積 $S$ は, 曲線の $0 \leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$ における部分と $x$ 軸に囲まれた図形 (斜線部分) の面積の $4$ 倍になるので

$S=4π20|ydxdt| dt=4π20|3sin2t(2sint)| dt=24π20sin2tsint dt=24π20(2sintcost)sint dt=48π20sin2tcost dt=48[13sin3t]π20=16$

$Q4$.
次の曲線の長さ $L$ を求めなさい。

$\left\{ x=tsinty=1cost\right.~~(0\leqq t \leqq 2\pi)$
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$L=8$

媒介変数表示された曲線

$\left\{ x=f(t)y=g(t) \right.~~(\alpha \leqq t \leqq \beta)$

の長さ $L$ は

$\displaystyle L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left\{ f'(t) \right\}^2 + \left\{ g'(t) \right\}^2 }~dt = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 }~dt$

で計算することができます。

この式に当てはめて計算すると

$L=2π0(1cost)2+sin2t dt=2π012cost+cos2t+sin2t dt=2π022cost dt$

半角の公式から

$1-\cos t = 2\sin^2 \dfrac{t}{2}$

であり, $0\leqq t \leqq 2\pi$ では $\sin \dfrac{t}{2} \geqq 0$ であることに注意すると

$L=2π022cost dt=2π04sin2t2 dt=2π02sint2 dt=2[2cost2]2π0=8$

※ この曲線は サイクロイドと呼ばれます。

$Q5$.
$x=t^2$, $y=t(1-t)$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

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$V=\dfrac{\pi}{30}$

媒介変数表示された曲線

$\left\{ x=f(t)y=g(t) \right.$

と $x$ 軸, $x=f(\alpha)$, $x = f(\beta)~(\alpha \lt \beta)$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は

$\displaystyle V = \pi \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ g(t) \right\}^2 \left| f'(t) \right|~dt$

で計算することができます。

計算すると

$V=π10y2|dxdt| dt=π10t2(1t)22t dt=π10(2t34t4+2t5) dt=π[12t445t5+13t6]10=(1245+13)π=π30$

$Q6$.
次の曲線で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

$\left\{ x=2costy=3sin2t\right.~~(0 \leqq t \leqq 2\pi)$
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$V=\dfrac{96}{5}\pi$

曲線は上図のようになるので, 求める体積 $V$ は $0 \leqq t \leqq \dfrac{t}{2}$ に対応する部分を回転してできる立体の体積の $2$ 倍になります。よって

$V=2π20πy2|dxdt| dt=2ππ209sin22t |2sint| dt=36ππ20(2sintcost)2sint dt=144ππ20sin3t cos2t dt=144ππ20sint(1cos2t)cos2t dt=144ππ20(sintcos2tsintcos4t) dt=144π[13cos3t+15cos5t]π20=144π(1315)=965π$