$Q1$.
次の図形の面積 $S$ を求めなさい。
$Q2$.
次の図形の面積 $S$ を求めなさい。
$y=0$ とすると $t=-1,2$ であり, $\dfrac{dx}{dt} = 2t$ より
$-1 \lt t \lt 0$ の時 $\dfrac{dx}{dt} \lt 0$, $~~0 \lt t \lt 2$ の時 $\dfrac{dx}{dt} \gt 0$
となります。

よって求める面積 $S$ は
$S=∫20|ydxdt| dt−∫0−1|ydxdt| dt=∫20|−(t−2)(t+1)2t| dt−∫0−1|−(t−2)(t+1)2t| dt=∫20−(t−2)(t+1)2t dt−∫0−1(t−2)(t+1)2t dt=∫2−1−(t−2)(t+1)2t dt=∫2−1(−2t3+2t2+4t) dt=[−12t4+23t3+2t2]2−1=(−8+163+8)−(−12−23+2)=92$
$Q3$.
媒介変数表示された曲線
で囲まれた図形の面積 $S$ を求めなさい。
この曲線を図示すると下のようになります。

よって求める面積 $S$ は, 曲線の $0 \leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$ における部分と $x$ 軸に囲まれた図形 (斜線部分) の面積の $4$ 倍になるので
$S=4∫π20|ydxdt| dt=4∫π20|3sin2t(−2sint)| dt=24∫π20sin2tsint dt=24∫π20(2sintcost)sint dt=48∫π20sin2tcost dt=48[13sin3t]π20=16$
$Q4$.
次の曲線の長さ $L$ を求めなさい。
媒介変数表示された曲線
$\left\{ x=f(t)y=g(t) \right.~~(\alpha \leqq t \leqq \beta)$
の長さ $L$ は
$\displaystyle L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left\{ f'(t) \right\}^2 + \left\{ g'(t) \right\}^2 }~dt = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 }~dt$
で計算することができます。
この式に当てはめて計算すると
$L=∫2π0√(1−cost)2+sin2t dt=∫2π0√1−2cost+cos2t+sin2t dt=∫2π0√2−2cost dt$
半角の公式から
$1-\cos t = 2\sin^2 \dfrac{t}{2}$
であり, $0\leqq t \leqq 2\pi$ では $\sin \dfrac{t}{2} \geqq 0$ であることに注意すると
$L=∫2π0√2−2cost dt=∫2π0√4sin2t2 dt=∫2π02sint2 dt=2[−2cost2]2π0=8$
※ この曲線は サイクロイドと呼ばれます。

$Q5$.
$x=t^2$, $y=t(1-t)$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。
媒介変数表示された曲線
$\left\{ x=f(t)y=g(t) \right.$
と $x$ 軸, $x=f(\alpha)$, $x = f(\beta)~(\alpha \lt \beta)$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は
$\displaystyle V = \pi \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ g(t) \right\}^2 \left| f'(t) \right|~dt$
で計算することができます。
計算すると
$V=π∫10y2|dxdt| dt=π∫10t2(1−t)22t dt=π∫10(2t3−4t4+2t5) dt=π[12t4−45t5+13t6]10=(12−45+13)π=π30$
$Q6$.
次の曲線で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ を求めなさい。

曲線は上図のようになるので, 求める体積 $V$ は $0 \leqq t \leqq \dfrac{t}{2}$ に対応する部分を回転してできる立体の体積の $2$ 倍になります。よって
$V=2∫π20πy2|dxdt| dt=2π∫π209sin22t |−2sint| dt=36π∫π20(2sintcost)2sint dt=144π∫π20sin3t cos2t dt=144π∫π20sint(1−cos2t)cos2t dt=144π∫π20(sintcos2t−sintcos4t) dt=144π[−13cos3t+15cos5t]π20=144π(13−15)=965π$
区間 $\alpha \lt t \lt \beta$ で $f'(t)$ の符号が一定の時, 媒介変数表示された曲線
$\left\{ x=f(t)y=g(t) \right.$
と $x$ 軸, 直線 $x = f(\alpha)$, $x=f(\beta)$ で囲まれた図形の面積は
$\displaystyle S = \int_{\alpha}^{\beta} \left| g(t)f'(t) \right|~dt$
で計算することができます。
$y=0$ とすると $t=0,1$ なので, 求める面積 $S$ は
$S=∫10|ydxdt| dt=∫10|t(1−t)⋅2t| dt=∫10(2t2−2t3) dt=[23t3−12t4]10=16$