(1)
$a \gt 0$ かつ $n$ が奇数の時, $x^n = a$ は唯一つの実数解 $\sqrt[n]{a}$ を持ちます。

$x^5=6$ より, その実数解は $x = \sqrt[5]{6}$ になります。

(2)
$a \gt 0$ かつ $n$ が偶数の時, $x^n = a$ は $2$ つの実数解 $\pm \sqrt[n]{a}$ を持ちます。

$x^6=2$ より, その実数解は $x = \pm \sqrt[6]{2}$ になります。

(3)
$a \gt 0$ かつ $n$ が奇数の時, $x^n = -a$ は唯一つの実数解 $-\sqrt[n]{a} \left( = \sqrt[n]{-a}\right)$ を持ちます。

$x^3 = -7$ より, その実数解は $x = -\sqrt[3]{7}$ になります。

(4)
$a \gt 0$ かつ $n$ が偶数の時, $x^n = -a$ は実数解を持ちません。

よって $x^4 = -1$ は実数解を持ちません。

$n$ 乗したら $a$ になる正の数を $\sqrt[n]{a}$ と表します。

(1)
$64 = 2^6 = 4^3$ なので, $\sqrt[3]{64} = 4$ となります。

(2)
$81 = 3^4$ なので, $\sqrt[4]{81} = 3$ となります。

(3)
$(-1)^5 = -1$ なので, $\sqrt[5]{-1} = -1$ になります。

(4)
$1024 = 2^{10}$ なので $-\sqrt[10]{1024} = -2$ となります。

(1)
$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ を利用しましょう。

$72 = 8\cdot 9 = 2^3\cdot 3^2$ より

$\sqrt[3]{72} =\sqrt[3]{2^3\cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^3}\sqrt[3]{3^2} = 2\sqrt[3]{9}$

(2)
$\left( \sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$ より

$\left( \sqrt[5]{9} \right)^3 = \sqrt[5]{9^3} = \sqrt[5]{3^6} = \sqrt[5]{3^5 \cdot3} = 3\sqrt[5]{3}$

(3)

$\begin{eqnarray*}\sqrt[4]{36}\sqrt[4]{100} & = & \sqrt[4]{2^2\cdot 3^2}\sqrt[4]{2^2\cdot 5^2}\\[0.5em] & = & \sqrt[4]{2^4\cdot 3^2\cdot 5^2}\\[0.5em] & = & 2\sqrt[4]{3^2\cdot 5^2} = 2\sqrt[4]{225}\end{eqnarray*}$

(4)

$\dfrac{ \sqrt[3]{54} }{ \sqrt[3]{18} } = \sqrt[3]{ \dfrac{54}{18} } = \sqrt[3]{3}$

(5)
$\sqrt[m]{ \sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ より

$\sqrt[3]{ \sqrt[4]{15} } = \sqrt[3\cdot 4]{15} = \sqrt[12]{15}$