まず, $y = -\dfrac{x}{2} +1$ の定義域が $2 \lt x\lt 8$ の時, 値域は $-3 \lt y \lt 0$ になります。

$y = -\dfrac{x}{2} + 1$ の両辺を $2$ 倍して $x$ について解くと

$x = -2y + 2$

よって逆関数は $y = -2x + 2$ となります。

逆関数の定義域と値域は, 元の関数の値域と定義域になるので,

逆関数の定義域は $-3 \lt x \lt 0$, 値域は $2 \lt y \lt 8$ となります。

$x = 2$ の時, $y = 1^2+2 = 3$ であり,

$x=4$ の時, $y = 3^2 + 2 =11$ となります。

定義域内においてこの関数は単調増加なので, この関数の値域は $3 \leqq y \leqq 11$ になります。

また, $x-1 \gt 0$ に注意して, $y = (x-1)^2 +2$ を $x$ について解くと

$ $$\begin{eqnarray*} (x-1)^2 & = & y-2\\[0.5em] x-1 & = & \sqrt{y-2} \\[0.5em] x & = & \sqrt{y-2} + 1\end{eqnarray*}$$ $

よって逆関数は $y = \sqrt{x-2}+1$ であり, その定義域は $3 \leqq x \leqq 11$, 値域は $2 \leqq y \leqq 4$ となります。

関数を変形すると

$y = \dfrac{-1 + 2(x-1)}{x-1} = -\dfrac{1}{x-1} + 2$

$x=-2$ の時, $y = \dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{7}{3}$ であり

$x=0$ の時, $y = 1 + 2 = 3$ となります。

また, $-2 \leqq x \leqq 0$ において $-\dfrac{1}{x-1} + 2$ は単調増加なので, この関数の値域は $\dfrac{7}{3} \leqq y \leqq 3$ になります。

$y = \dfrac{2x-3}{x-1}$ を $x$ について解くと, $y = -\dfrac{1}{x-1}+2$ より

$ $$\begin{eqnarray*}\dfrac{1}{x-1} & = & -y + 2\\[0.5em] x-1 & = & -\dfrac{1}{y-2}\\[0.5em] x & = & -\dfrac{1}{y-2} + 1 = \dfrac{y-3}{y-2}\end{eqnarray*}$$ $

よって逆関数は $y = \dfrac{x-3}{x-2}$ となり,

定義域は $\dfrac{7}{3}\leqq x \leqq 3$, 値域は $-2 \leqq y \leqq 0$ となります。