9. いろいろな数列 例題集

$Q1$.
数列の和 $5+8+11+14+17+20$ を $\displaystyle \sum$ を用いて表し, その値を求めなさい。

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$\displaystyle \sum_{k=1}^{6}\left( 3k+2 \right)~~~~$ 値 : $75$

数列

$5,8,11,14,17,20$

を考えると, この数列の一般項は

$3n+2~~(n=1,2,3,4,5,6)$

と表せるので, $\displaystyle \sum$ を用いると

$\displaystyle 5+8+11+14+17+20 = \sum_{k=1}^{6}\left( 3k+2 \right)$

となります。また, その和は

$6k=1(3k+2)=36k=1k+6k=12=3267+26=63+12=75$

注意

等差数列なので, その和は

$\dfrac{6(5+20)}{2} = 75$

と計算することもできます。

$Q2$.
次の和を計算しなさい。

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100} k$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^5 k^2$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^7 (2k^2 - 3k +2)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=0}^9 \dfrac{1}{2^k}$
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(1) $5050$
(2) $55$
(3) $210$
(4) $\dfrac{1023}{512}$

(1)
累乗の和の公式を使うと

$100k=1k=12100101=5050$

(2)
累乗の和の公式を使うと

$5k=1k2=165611=55$

(3)
$\displaystyle \sum$ の性質を利用すると

$7k=1(2k23k+2)=27k=1k237k=1k+7k=12=2678153278+27=28084+14=210$

(4)
初項 $1$, 公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列の和であることに注意すると

$9k=012k=1+12+122++129=1(12)10112=2(111024)=1023512$

$Q3$.
次の和を計算しなさい。

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^n (5k+4)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^2+k+3)$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k$
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2} k$
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(1) $\dfrac{n(5n+13)}{2}$
(2) $\dfrac{n(n^2 +3n +11)}{3}$
(3) $\dfrac{1}{2}(n-1)n$
(4) $n(2n+1)$
(5) $\dfrac{n^2(n^2+1)}{2}$

(1)
$\displaystyle \sum$ の性質を用いると

$nk=1(5k+4)=5nk=1k+nk=14=52n(n+1)+4n=n{5(n+1)+8}2=n(5n+13)2$

(2)

$nk=1(k2+k+3)=nk=1k2+nk=1k+nk=13=16n(n+1)(n+1)+12n(n+1)+3n=n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)+18n6=n{(n+1)(2n+1)+3(n+1)+18}6=n(2n2+6n+22)6=n(n2+3n+11)3$

(3)
累乗の和の公式で $n$ を $n-1$ に置き換えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k = \dfrac{1}{2}(n-1)((n-1)+1) = \dfrac{1}{2}(n-1)n$

(4)
累乗の和の公式で $n$ を $2n$ に置き換えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k= \dfrac{1}{2}(2n)(2n+1) = n(2n+1)$

(5)
累乗の和の公式で $n$ を $n^2$ に置き換えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2}k = \dfrac{1}{2}n^2(n^2+1)$

$Q4$.
次の和を計算しなさい。

$ \displaystyle \sum_{k=10}^{21} (3k+1)$
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$570$

まず, $k=1$ から $n$ までの和を求めると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (3k+1) = \dfrac{3}{2}n(n+1) + n = \dfrac{n(3n+5)}{2}$

となります。

$\displaystyle \sum_{k=10}^{21} (3k+1) = \sum_{k=1}^{21} (3k+1) - \sum_{k=1}^{9} (3k+1)$

であるから, $n=21$ と $n=9$ の場合をそれぞれ計算すると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{21} (3k+1) = \dfrac{21\cdot ( 3\cdot 21 + 5)}{2} = 714$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{9} (3k+1) = \dfrac{9\cdot (3\cdot 9 + 5)}{2} = 144$

よって

$\displaystyle \sum_{k=10}^{21} (3k+1) = 714 - 144 = 570$

$Q5$.
次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を計算しなさい。

$7\cdot 2,~9\cdot 5,~ 11\cdot 8,~13\cdot 11,~15\cdot 14,\cdots$
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$\dfrac{n(4n^2 + 19n +5)}{2}$

与えられた数列を $\{a_n \}$ として, 数列 $\{ b_n \}$ と $\{c_n \}$ を

$b_1 = 7,~b_2 = 9,~b_3 = 11,~b_4 = 13,~b_5 = 15,\cdots$

$c_1 = 2,~c_2 = 5,~c_3 = 8,~c_4 = 11,~c_5 = 14,\cdots$

と定めると, $a_n = b_n \cdot c_n$ と表せることがわかります。

数列 $\{ b_n\}$ は初項 $7$, 公差 $2$ の等差数列なので, その一般項は

$b_n = 2n+5$

また, 数列 $\{ c_n\}$ は初項 $2$, 公差 $3$ の等差数列なので, その一般項は

$c_n = 3n-1$

$a_n = b_n\cdot c_n$ であるからその一般項は

$a_n = b_n\cdot c_n = (2n+5)(3n-1) = 6n^2 +13n -5$

よって初項から第 $n$ 項までの和は

$nk=1(6k2+13k5)=66n(n+1)(2n+1)+132n(n+1)5n=n2{2(n+1)(2n+1)+13(n+1)10}=n2{(4n2+6n+2)+(13n+13)10}=n(4n2+19n+5)2$

$Q6$.
次の数列の一般項を求めなさい。

$1,~2,~6,~13,~23,~36,\cdots$
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$\dfrac{3n^2 - 7n + 6}{2}$

与えられた数列を $\{a_n \}$ として, 数列 $\{ b_n \}$ を

$b_n = a_{n+1} a_n$

と定めると

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 6 - 2 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 13 - 6 = 7$

$b_4 = a_5 - a_4 = 23 - 13 = 10$

より数列 $\{ b_n \}$ は初項 $1$, 公差 $3$ の等差数列であることがわかります。

よってその一般項は

$b_n = 3n -2$

数列 $\{ a_n \}$ と $\{ b_n \}$ の間には

$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

という関係が成り立つので, $\{ a_n\} $ の一般項は

$an=a1+n1k=1bk=1+n1k=1(3k2)=1+32n(n1)2(n1)=2+3n(n1)4(n1)2=3n27n+62$