$Q1$.
数列の和 $5+8+11+14+17+20$ を $\displaystyle \sum$ を用いて表し, その値を求めなさい。
$Q2$.
次の和を計算しなさい。
(1)
累乗の和の公式を使うと
$100∑k=1k=12⋅100⋅101=5050$
(2)
累乗の和の公式を使うと
$5∑k=1k2=16⋅5⋅6⋅11=55$
(3)
$\displaystyle \sum$ の性質を利用すると
$7∑k=1(2k2−3k+2)=27∑k=1k2−37∑k=1k+7∑k=12=26⋅7⋅8⋅15−32⋅7⋅8+2⋅7=280−84+14=210$
(4)
初項 $1$, 公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列の和であることに注意すると
$9∑k=012k=1+12+122+⋯+129=1−(12)101−12=2(1−11024)=1023512$
$Q3$.
次の和を計算しなさい。
(1)
$\displaystyle \sum$ の性質を用いると
$n∑k=1(5k+4)=5n∑k=1k+n∑k=14=52n(n+1)+4n=n{5(n+1)+8}2=n(5n+13)2$
(2)
$n∑k=1(k2+k+3)=n∑k=1k2+n∑k=1k+n∑k=13=16n(n+1)(n+1)+12n(n+1)+3n=n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)+18n6=n{(n+1)(2n+1)+3(n+1)+18}6=n(2n2+6n+22)6=n(n2+3n+11)3$
(3)
累乗の和の公式で $n$ を $n-1$ に置き換えると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k = \dfrac{1}{2}(n-1)((n-1)+1) = \dfrac{1}{2}(n-1)n$
(4)
累乗の和の公式で $n$ を $2n$ に置き換えると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k= \dfrac{1}{2}(2n)(2n+1) = n(2n+1)$
(5)
累乗の和の公式で $n$ を $n^2$ に置き換えると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2}k = \dfrac{1}{2}n^2(n^2+1)$
$Q4$.
次の和を計算しなさい。
まず, $k=1$ から $n$ までの和を求めると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (3k+1) = \dfrac{3}{2}n(n+1) + n = \dfrac{n(3n+5)}{2}$
となります。
$\displaystyle \sum_{k=10}^{21} (3k+1) = \sum_{k=1}^{21} (3k+1) - \sum_{k=1}^{9} (3k+1)$
であるから, $n=21$ と $n=9$ の場合をそれぞれ計算すると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{21} (3k+1) = \dfrac{21\cdot ( 3\cdot 21 + 5)}{2} = 714$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{9} (3k+1) = \dfrac{9\cdot (3\cdot 9 + 5)}{2} = 144$
よって
$\displaystyle \sum_{k=10}^{21} (3k+1) = 714 - 144 = 570$
$Q5$.
次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を計算しなさい。
与えられた数列を $\{a_n \}$ として, 数列 $\{ b_n \}$ と $\{c_n \}$ を
$b_1 = 7,~b_2 = 9,~b_3 = 11,~b_4 = 13,~b_5 = 15,\cdots$
$c_1 = 2,~c_2 = 5,~c_3 = 8,~c_4 = 11,~c_5 = 14,\cdots$
と定めると, $a_n = b_n \cdot c_n$ と表せることがわかります。
数列 $\{ b_n\}$ は初項 $7$, 公差 $2$ の等差数列なので, その一般項は
$b_n = 2n+5$
また, 数列 $\{ c_n\}$ は初項 $2$, 公差 $3$ の等差数列なので, その一般項は
$c_n = 3n-1$
$a_n = b_n\cdot c_n$ であるからその一般項は
$a_n = b_n\cdot c_n = (2n+5)(3n-1) = 6n^2 +13n -5$
よって初項から第 $n$ 項までの和は
$n∑k=1(6k2+13k−5)=66n(n+1)(2n+1)+132n(n+1)−5n=n2{2(n+1)(2n+1)+13(n+1)−10}=n2{(4n2+6n+2)+(13n+13)−10}=n(4n2+19n+5)2$
$Q6$.
次の数列の一般項を求めなさい。
与えられた数列を $\{a_n \}$ として, 数列 $\{ b_n \}$ を
$b_n = a_{n+1} a_n$
と定めると
$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$
$b_2 = a_3 - a_2 = 6 - 2 = 4$
$b_3 = a_4 - a_3 = 13 - 6 = 7$
$b_4 = a_5 - a_4 = 23 - 13 = 10$
より数列 $\{ b_n \}$ は初項 $1$, 公差 $3$ の等差数列であることがわかります。
よってその一般項は
$b_n = 3n -2$
数列 $\{ a_n \}$ と $\{ b_n \}$ の間には
$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$
という関係が成り立つので, $\{ a_n\} $ の一般項は
$an=a1+n−1∑k=1bk=1+n−1∑k=1(3k−2)=1+32n(n−1)−2(n−1)=2+3n(n−1)−4(n−1)2=3n2−7n+62$
数列
$5,8,11,14,17,20$
を考えると, この数列の一般項は
$3n+2~~(n=1,2,3,4,5,6)$
と表せるので, $\displaystyle \sum$ を用いると
$\displaystyle 5+8+11+14+17+20 = \sum_{k=1}^{6}\left( 3k+2 \right)$
となります。また, その和は
$6∑k=1(3k+2)=36∑k=1k+6∑k=12=32⋅6⋅7+2⋅6=63+12=75$
注意
等差数列なので, その和は
$\dfrac{6(5+20)}{2} = 75$
と計算することもできます。