数列

$5,8,11,14,17,20$

を考えると, この数列の一般項は

$3n+2~~(n=1,2,3,4,5,6)$

と表せるので, $\displaystyle \sum$ を用いると

$\displaystyle 5+8+11+14+17+20 = \sum_{k=1}^{6}\left( 3k+2 \right)$

となります。また, その和は

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{6}\left( 3k+2 \right) & = & 3\sum_{k=1}^{6} k + \sum_{k=1}^6 2\\[0.5em] & = & \dfrac{3}{2}\cdot 6 \cdot 7 + 2\cdot 6 = 63 + 12 = 75\end{eqnarray*}$

注意

等差数列なので, その和は

$\dfrac{6(5+20)}{2} = 75$

と計算することもできます。

(1)
累乗の和の公式を使うと

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{100} k & = & \dfrac{1}{2}\cdot 100 \cdot 101 = 5050\end{eqnarray*}$

(2)
累乗の和の公式を使うと

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5 k^2 & = & \dfrac{1}{6}\cdot 5\cdot 6 \cdot 11 = 55 \end{eqnarray*}$

(3)
$\displaystyle \sum$ の性質を利用すると

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^7 (2k^2 - 3k +2) & = & 2\sum_{k=1}^7 k^2 - 3\sum_{k=1}^7 k+ \sum_{k=1}^7 2\\[1em] & = & \dfrac{2}{6}\cdot 7\cdot 8\cdot 15 - \dfrac{3}{2}\cdot 7\cdot 8 + 2\cdot 7\\[1em] & = & 280 - 84 + 14 = 210 \end{eqnarray*}$

(4)
初項 $1$, 公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列の和であることに注意すると

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^9 \dfrac{1}{2^k} & = & 1 +\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^9}\\[1em] & = & \dfrac{1- \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10} }{1- \dfrac{1}{2}}\\[1em] & = & 2\left( 1 - \dfrac{1}{1024} \right) = \dfrac{1023}{512}\end{eqnarray*}$

(1)
$\displaystyle \sum$ の性質を用いると

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (5k+4) & = & 5 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 4\\[0.5em] & = & \dfrac{5}{2}n(n+1) + 4n \\[0.5em] & = & \dfrac{n\left\{ 5(n+1) + 8 \right\} }{2} \\[0.5em] & = & \dfrac{n(5n+13)}{2}\end{eqnarray*}$

(2)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (k^2+k+3) & = & \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 3 \\[1em] & = & \dfrac{1}{6}n(n+1)(n+1) + \dfrac{1}{2}n(n+1) + 3n\\[1em] & = & \dfrac{ n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) + 18n}{6} \\[1em] & = & \dfrac{n \left\{ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 18 \right\} }{6}\\[1em] & = & \dfrac{n(2n^2 + 6n +22)}{6}\\[0.5em] & = & \dfrac{n(n^2 + 3n +11)}{3}\end{eqnarray*}$

(3)
累乗の和の公式で $n$ を $n-1$ に置き換えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k = \dfrac{1}{2}(n-1)((n-1)+1) = \dfrac{1}{2}(n-1)n$

(4)
累乗の和の公式で $n$ を $2n$ に置き換えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k= \dfrac{1}{2}(2n)(2n+1) = n(2n+1)$

(5)
累乗の和の公式で $n$ を $n^2$ に置き換えると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2}k = \dfrac{1}{2}n^2(n^2+1)$

まず, $k=1$ から $n$ までの和を求めると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (3k+1) = \dfrac{3}{2}n(n+1) + n = \dfrac{n(3n+5)}{2}$

となります。

$\displaystyle \sum_{k=10}^{21} (3k+1) = \sum_{k=1}^{21} (3k+1) - \sum_{k=1}^{9} (3k+1)$

であるから, $n=21$ と $n=9$ の場合をそれぞれ計算すると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{21} (3k+1) = \dfrac{21\cdot ( 3\cdot 21 + 5)}{2} = 714$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{9} (3k+1) = \dfrac{9\cdot (3\cdot 9 + 5)}{2} = 144$

よって

$\displaystyle \sum_{k=10}^{21} (3k+1) = 714 - 144 = 570$

与えられた数列を $\{a_n \}$ として, 数列 $\{ b_n \}$ と $\{c_n \}$ を

$b_1 = 7,~b_2 = 9,~b_3 = 11,~b_4 = 13,~b_5 = 15,\cdots$

$c_1 = 2,~c_2 = 5,~c_3 = 8,~c_4 = 11,~c_5 = 14,\cdots$

と定めると, $a_n = b_n \cdot c_n$ と表せることがわかります。

数列 $\{ b_n\}$ は初項 $7$, 公差 $2$ の等差数列なので, その一般項は

$b_n = 2n+5$

また, 数列 $\{ c_n\}$ は初項 $2$, 公差 $3$ の等差数列なので, その一般項は

$c_n = 3n-1$

$a_n = b_n\cdot c_n$ であるからその一般項は

$a_n = b_n\cdot c_n = (2n+5)(3n-1) = 6n^2 +13n -5$

よって初項から第 $n$ 項までの和は

$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^n (6k^2 + 13k-5) & = & \dfrac{6}{6}n(n+1)(2n+1) + \dfrac{13}{2}n(n+1) - 5n\\[1em] & = & \dfrac{n}{2}\left\{ 2(n+1)(2n+1) + 13(n+1) -10\right\}\\[1em] & = & \dfrac{n}{2}\left\{ (4n^2 + 6n +2) + (13n+13) -10 \right\}\\[1em] & = & \dfrac{n(4n^2 + 19n + 5)}{2}\end{eqnarray*}$

与えられた数列を $\{a_n \}$ として, 数列 $\{ b_n \}$ を

$b_n = a_{n+1} a_n$

と定めると

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 6 - 2 = 4$

$b_3 = a_4 - a_3 = 13 - 6 = 7$

$b_4 = a_5 - a_4 = 23 - 13 = 10$

より数列 $\{ b_n \}$ は初項 $1$, 公差 $3$ の等差数列であることがわかります。

よってその一般項は

$b_n = 3n -2$

数列 $\{ a_n \}$ と $\{ b_n \}$ の間には

$\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

という関係が成り立つので, $\{ a_n\} $ の一般項は

$\begin{eqnarray*} a_n & = & a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \\[0.5em] & = & 1 + \sum_{k=1}^{n-1}(3k-2) \\[0.5em] & = & 1 + \dfrac{3}{2}n(n-1) - 2(n-1)\\[0.5em] & = & \dfrac{2 + 3n(n-1) - 4(n-1)}{2}\\[0.5em] & = & \dfrac{3n^2 - 7n + 6}{2}\end{eqnarray*}$