対角化行列を求めるには, その行列の固有値と固有ベクトルを求めます。

$|\lambda E -A|=0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |\lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda - 11 & -2 \\ -9 & \lambda -8 \end{vmatrix}\\[1em] & = & (\lambda -11)(\lambda-8) - 18\\[0.5em] & = & \lambda^2 -19\lambda + 70\\[0.5em] & = & (\lambda-5)(\lambda - 14)=0 \end{eqnarray*}$$ $

より $\lambda = 5,14$ となります。

$\lambda = 5$ の時,

$ $$\begin{eqnarray*} (5E - A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ -9 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -6x-2y \\ -9x-3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となるので $y = -3x$ となります。よって固有ベクトルは

$\overrightarrow{x} = $$\begin{pmatrix} x \\ -3x \end{pmatrix}$$ = x $$\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$$ ~~$ ($x\not=0$)

となります。

また, $\lambda = 14$ の時,

$ $$\begin{eqnarray*} (14E - A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x-2y \\ -9x+6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となるので $2y = 3x$ となります。よって固有ベクトルは

$\overrightarrow{x} = $$\begin{pmatrix} x \\ \dfrac{3}{2}x \end{pmatrix}$$ = \dfrac{1}{2}x $$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ = x' $$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ ~~$ ($x'\not=0$)

となります。

対角化行列は固有ベクトルを並べて得られるので, 対角化行列を $P$ とすると

$P = $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$$ $

となります。また $P^{-1} = \dfrac{1}{9} $$\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ $ より $P^{-1}AP$ を計算すると

$ $$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \dfrac{1}{9}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 11 & 2 \\ 9 & 8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{9}\begin{pmatrix}3 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 28 \\ -15 & 42 \end{pmatrix} \\[1em] & = & \dfrac{1}{9}\begin{pmatrix}45 & 0 \\ 0 & 126 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 14 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となり, 対角行列になることが分かります。

※注意

対角化行列を $P$ とした時, $P^{-1}AP$ が対角行列になることは分かっているので, $P^{-1}AP$ の計算を実際に行う必要はありません。

計算ミスをしていないか確認するための検算目的として計算するとよいでしょう。

$|\lambda E -A|=0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |\lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda + 1 & -2 & 1 \\ -2 & \lambda + 2 & 2 \\ 2 & -1 & \lambda -1 \end{vmatrix}\\[1em] & = & \lambda^3 + 2\lambda^2 -5\lambda -6\\[0.5em] & = & (\lambda+3)(\lambda +1)(\lambda -2)=0 \end{eqnarray*}$$ $

より $\lambda = -3,-1,2$ となります。

$\lambda = -3$ の時,

$ $$\begin{eqnarray*} (-3E - A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2x-2y+z \\ -2x-y + 2z \\ 2x -y -4z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

これを解くと $2x = 3z$, $y = -z$ となります。よって固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_1} = c_1 $$\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$$ ~~$ ($c_1\not=0$)

となります。

$\lambda = -1$ の時,

$ $$\begin{eqnarray*} (-E - A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -2y+z \\ -2x + y + 2z \\ 2x -y -2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

これを解くと $2x = 5y$, $z = 2y$ となります。よって固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_2} = c_2 $$\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ ~~$ ($c_2\not=0$)

となります。

最後に $\lambda = 2$ の時,

$ $$\begin{eqnarray*} (2E - A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 3x-2y+z \\ -2x + 4y + 2z \\ 2x -y + z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

これを解くと $x = y$, $z = -y$ となります。よって固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_3} = c_3 $$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ ~~$ ($c_3\not=0$)

となります。

よって対角化行列を $P$ とすると

$P = $$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ $

であり, また $P^{-1}$ を計算すると

$P^{-1} = \dfrac{1}{30} $$\begin{pmatrix} 6 & -9 & -3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 12 & 2 & -16\end{pmatrix}$$ $

となるので

$ $$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \dfrac{1}{30} \begin{pmatrix} 6 & -9 & -3 \\ 0 & 5 & 5 \\ 12 & 2 & -16\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となります。

$|\lambda E -A|=0$ とすると

$ $$\begin{eqnarray*} |\lambda E - A| & = & \begin{vmatrix} \lambda + 1 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda + 1 & -2 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix}\\[1em] & = & \lambda^3 + 2\lambda^2 -7\lambda +4\\[0.5em] & = & (\lambda - 1)^2(\lambda + 4)=0 \end{eqnarray*}$$ $

より $\lambda = -4,1$ となります。

$\lambda = -4$ の時,

$ $$\begin{eqnarray*} (-4E - A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 2 & -3 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} -3x+2y-2z \\ 2x-3y-2z \\ -x-y-4z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

これを解くと $x = y$, $y = -2z$ となります。よって固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_1} = c_1 $$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ ~~$ ($c_1\not=0$)

となります。

$\lambda = 1$ の時,

$ $$\begin{eqnarray*} (E - A)\overrightarrow{x} & = & \begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix} 2x+2y-2z \\ 2x + 2y - 2z \\ -x -y + z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

$z = x + y$ より固有ベクトルは

$\overrightarrow{x_2} = c_2 $$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ +c_3 $$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ ~~$ ($c_2\not=0$ または $c_3\not=0$)

となります。

よって対角化行列を $P$ は

$P = $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $

であり, また $P^{-1}$ を計算すると

$P^{-1} = \dfrac{1}{5} $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$ $

となるので

$ $$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP & = & \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \begin{pmatrix}-4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$$ $

となります。