次の行列 $A$ が直交行列である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} -4 & -4 & -2 \\ -4 & a & 4 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix}$
$2$
$-2$
$4$
$-4$
行列 $A$ が ${}^t \!A = A^{-1}$ を満たす時, $A$ を直交行列という。
$\begin{eqnarray*} {}^t \!A A & = & \dfrac{1}{36}\begin{pmatrix} -4 & -4 & -2 \\ -4 & a & 4 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & -4 & -2 \\ -4 & a & 4 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{36} \begin{pmatrix} 36 & 8-4a & 0 \\ 8-4a & a^2 + 32 & -(8-4a) \\ 0 & -(8-4a) & 36 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
これが単位行列になればよいので
$8-4a=0$
よって $a = 2$ である。
次の行列 $A$ が直交行列である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 4 \\ -4 & a & -2 \\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix}$
$-4$
$4$
$2$
$-2$
行列 $A$ が ${}^t \!A = A^{-1}$ を満たす時, $A$ を直交行列という。
$\begin{eqnarray*} {}^t \!A A & = & \dfrac{1}{36} \begin{pmatrix} -4 & -4 & 2 \\ 2 & a & -4 \\ 4 & -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 4 \\ -4 & a & -2 \\ 2 & -4 & 4 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{36} \begin{pmatrix} 36 & -4a - 16 & 0 \\ -4a - 16 & a^2 + 20 & -2a - 8 \\ 0 & -2a - 8 & 36 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
これが単位行列になればよいので $a = -4$ である。
次の行列 $A$ が直交行列である時, $a$ の値として正しいものを以下の選択肢から選びなさい。
$A = \dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ a & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$
$-2$
$2$
$1$
$-1$
行列 $A$ が ${}^t \!A = A^{-1}$ を満たす時, $A$ を直交行列という。
$\begin{eqnarray*} {}^t \!A A & = & \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -2 & a & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ a & -2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\\[1em] & = & \dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} a^2 + 5 & -2a - 4 & a+2 \\ -2a - 4 & 9 & 0 \\ a+2 & 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
これが単位行列になればよいので $a = -2$ である。